EEM224 Elektromanyetik I: 2006 bahar: Ödev 1–5, vektör analizi ve elektrostatik

Fotoğraflanmış sayfalardan metne aktarılan bu arşiv kaydı, soru metinleri ile okunabilen çözüm adımlarını içeriyor. Fotoğraflar özel arşivde saklanıyor; indirilebilir dosya bulunmuyor.

Ödev 1: vektör cebiri

A=10âx+15ây+5âz, B=3âx+12ây+6âz. A+B=13âx+27ây+11âz; A·B=240; açı yaklaşık 21,07°. A×B=30âx−45ây+75âz. İki vektörün düzlemine birim normal ±(2âx−3ây+5âz)/√38; paralelkenar alanı 15√38.

A=2âx+ây+4âz, B=−2âx−ây+Bzâz için 45°, 90°, 180° açı koşulları soruluyor. Çözüm 45° için Bz≈7,9, 90° için Bz=1,25 buluyor; 180° için “çözüm yok” yazıyor.

Not: 180° için B=−A seçilebilir; Bz=−4 geçerli çözümdür. Kaynak çözümde ikinci derece denkleme geçişte hata var.

(3,7,5) noktası silindirik olarak (√58, arctan(7/3),5), küresel olarak (√83, arccos(5/√83), arctan(7/3)). A=4âR, θ=60°, φ=30° için A=3âx+√3ây+2âz.

A=7âR+5âθ+3âφ, B=2âR+3âθ+4âφ aynı noktada: toplam 9âR+8âθ+7âφ; skaler çarpım 41; vektörel çarpım 11âR−22âθ+11âφ.

Ödev 2: çizgi, akı ve gradyan

F=2xâx+3zây−4âz için (1,1,1)’den (0,0,1)’e düz yol. x=y=t, z=1, t:1→0; ∫F·dl=−4 J. Kaynak cismi bu alana karşı taşımak için işi −∫F·dl=4 J olarak veriyor.

F=râr+âφ+zâz alanının r=1, 0≤φ≤π, 0≤z≤1 yarım silindirindeki akısı: yan yüzey π, üst yüzey π/2, alt yüzey sıfır, düz arka yüzey net sıfır; toplam 3π/2.

2x+y−z+1=0 düzleminin birim normalleri ±(2âx+ây−âz)/√6. T=10x+20y sıcaklık alanının eş sıcaklık çizgileri doğrusal; ∇T=10âx+20ây, maksimum artış yönü (âx+2ây)/√5.

Ödev 3: Stokes ve ıraksama

F=xyâx−yây; üçgen (2,3)→(2,1)→(4,3)→(2,3). Kenar integralleri 4, 26/3, −18; toplam −16/3. ∇×F=−xâz ve yüzey integrali de −16/3.

B=rzâr+r²âφ+2z²âz için ∇·B=6z. Yarıçapı 1, yüksekliği 2 olan kapalı silindirin taban akısı sıfır, yan akı 4π, üst akı 8π. Toplam 12π, hacim integraline eşit.

Ödev 4: Gauss yasası

0≤x,y,z≤1 küpünde ρv=16xyz μC/m³; toplam elektrik alan akısı ∮E·dS=Q/ε₀. Çözüm Q=2 yazıyor.

Not: Sorudaki μC birimi korunursa Q=2 μC, dolayısıyla E akısı 2×10⁻⁶/ε₀ olmalıdır; çözümde mikro çarpanı yazılmamış.

b yarıçaplı halkanın üst yarısında +ρl, alt yarısında −ρl: merkezde E=−ρlây/(πε₀b). a yarıçaplı düzgün yüklü küre içinde E=ρvRâR/(3ε₀), dışında E=ρva³âR/(3ε₀R²).

Ödev 5: halka biçimli yüzey

xy düzleminde iç yarıçap √3, dış yarıçap √8 m olan halka yüzeyinde ρs=10⁻⁶/(4π) C/m². z ekseninde:

E=[10⁻⁶z/(8πε₀)] [1/√(z²+3)−1/√(z²+8)] âz.

V=[10⁻⁶/(8πε₀)] [√(z²+8)−√(z²+3)].

z=−3’e eklenen Q nokta yükünün z=1’de toplam alanı sıfırlaması için kaynak Q=−(4/3)×10⁻⁶ C buluyor.