EEM224 Elektromanyetik I: Alan Kavramı, Gradyant, Diverjans, Bukle ve Stokes–Diverjans Teoremleri (El Yazısı Ders Notu)

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM224 Elektromanyetik I dersine ait el yazısı ders notlarının iki bölümünü bir araya getiriyor: "Alan Kavramı – Gradyant – Diverjans – Bukle" (3 sayfa) ve "Alanların Sınıflandırılması – Stokes ve Diverjans Teoremleri" (3 sayfa). Notlarda hazırlayanın adı ve tarih yazmıyor. Notların içeriği metne döküldü; taranmış orijinal PDF'ler yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Alan (field) kavramı

Alan: uzamsal bir dağılım; bir başka deyişle "uzay koordinatlarına" bağımlı bir fonksiyon.

• g = f(x, y, z), x = x₀, y = y₀, z = z₀ noktasında skaler bir değerdir; f skaler alandır (scalar field). Örneğin bir hacimdeki sıcaklık fonksiyonu.
• Ḡ = F̄(x, y, z), aynı noktada vektörel bir değerdir; F̄ vektörel alandır (vector field). Örneğin bir hacimdeki rüzgâr fonksiyonu.

Bir alan statik olabileceği gibi zaman bağımlı da olabilir: f(x, y, z; t) zaman bağımlı skaler alan, F̄(x, y, z; t) zaman bağımlı vektörel alandır.

Statik alan: konuma göre değişiklik gösterebilir, ancak zamana göre değişiklik göstermez.

Vektörel bir alanın her bir bileşeninin şiddeti bir skaler alandır:

F̄(x, y, z) = â_x f_x(x, y, z) + â_y f_y(x, y, z) + â_z f_z(x, y, z)

Burada f_x, f_y, f_z sırasıyla x, y ve z yönündeki bileşenlerin şiddetleridir (skaler alanlar).

Önemli not: x yönündeki bileşen sadece x'e bağlı bir fonksiyon olmak zorunda değildir. Bu örnekte olduğu gibi x, y ve z'ye bağlı bir fonksiyon olabilir.

Del, delta veya nabla operatörü

Nabla operatörü (∇ ile gösterilir), Kartezyen koordinatlarda şu şekilde ifade edilen vektörel bir operatördür:

∇ = â_x ∂/∂x + â_y ∂/∂y + â_z ∂/∂z

Soru: ∇'nın birimi nedir? Tanıma bakıldığında ∇ operatörünün x, y ve z'ye göre türev terimleri içerdiği görülmektedir. x, y, z uzunluk değişkenleri olduğundan birimleri "metre" olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla x, y, z'ye göre türev almak aslında "metre"ye bölmek demektir. Bu nedenle ∇ operatörünün birimi 1/metre'dir. (Genel olarak: bir değişkene göre türev almak, o değişkenin birimine bölmek demektir.)

Skaler bir alanın gradyantı

Gradyant, skaler bir alanın değişimi yönündeki vektörel bir alandır.

Örneğin bir bölgedeki sıcaklık fonksiyonunu ele alalım: T(x, y, z). Sabit yükseklikte sıcaklık sabit olsun, ancak yükseklik (z) arttıkça sıcaklık artıyor olsun. Bu durumda sıcaklık fonksiyonunun gradyantı â_z yönünde bir vektörel alan olacaktır.

Matematiksel olarak (Kartezyen koordinatlarda) bir skaler alanın gradyantı:

∇f(x, y, z) = â_x ∂f/∂x + â_y ∂f/∂y + â_z ∂f/∂z

Sonuç vektöreldir. ∇ (vektör) ile f (skaler) arasına, aynen bir vektör ile bir skalerin çarpımında olduğu gibi, hiçbir işaret konulmaz.

Vektörel bir alanın diverjansı

Vektörel bir alanın diverjansı, söz konusu vektörel alanın her bir bileşeninin kendi yönünde değişimi olup olmadığını belirten bir ölçüttür. Ā(x, y, z) = â_x A_x(x, y, z) + â_y A_y(x, y, z) + â_z A_z(x, y, z) olsun:

∇ · Ā = (â_x ∂/∂x + â_y ∂/∂y + â_z ∂/∂z) · (â_x A_x + â_y A_y + â_z A_z) = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z

Terimler sırasıyla x yönündeki bileşenin x yönündeki değişimi, y yönündeki bileşenin y yönündeki değişimi ve z yönündeki bileşenin z yönündeki değişimidir. ∇ (vektör) ile Ā (vektör) arasında skaler çarpım vardır; sonuç skalerdir.

Vektörel bir alanın buklesi

Vektörel bir alanın buklesi, söz konusu vektörel alanın rotasyonel bir değişim içerisinde olup olmadığını belirten bir ölçüttür. Kartezyen koordinatlarda:

∇ × Ā = (â_x ∂/∂x + â_y ∂/∂y + â_z ∂/∂z) × (â_x A_x + â_y A_y + â_z A_z)

        | â_x    â_y    â_z  |
∇ × Ā = | ∂/∂x   ∂/∂y   ∂/∂z |
        | A_x    A_y    A_z  |

∇ (vektör) ile Ā (vektör) arasında vektörel çarpım vardır; sonuç vektöreldir.

Vektörel alanların diverjans ve buklelerine göre sınıflandırılması

• Diverjansı 0'a eşit olan bir vektörel alan "solenoidal" olarak adlandırılır: ∇ · Ā(x, y, z) = 0 ise Ā(x, y, z) solenoidal bir alandır.
• Buklesi 0'a eşit olan bir vektörel alan "irrotasyonel" veya "konservatif" olarak adlandırılır: ∇ × Ā(x, y, z) = 0 ise Ā(x, y, z) irrotasyonel veya konservatif bir alandır.

Not: Bazı kaynaklarda bukle (∇×) operatörü "rotasyonel" olarak da anılmaktadır. Buklesi 0 olan alanlara bu nedenle "irrotasyonel", yani "rotasyonelsiz" adı verilmektedir.

Diverjans teoremi

v bir hacim, S de v hacmini çevreleyen kapalı yüzey olsun. Herhangi bir Ā(x, y, z) vektörel alanı için:

∫_v (∇ · Ā) dv = ∮_S Ā · ds̄

Yani Ā(x, y, z)'nin kapalı S yüzeyi üzerinde oluşturduğu toplam akı, ∇ · Ā(x, y, z)'nin v üzerindeki hacim integrali ile bulunabilir.

Kolay hatırlamak için: sol tarafta ∇ · Ā skaler alan, dv skalerdir; hacim integralinde operandlar skaler olmalı. Sağ tarafta Ā vektörel alan, ds̄ vektördür ve aralarında skaler çarpım vardır; yüzey integralinde operandlar vektörel olmalı.

Birimler cinsinden düşünürsek (Ā'nın birimi "Kappa" olsun): sol tarafta ∇ · Ā'nın birimi Kappa/m, dv'nin birimi m³, toplam Kappa·m². Sağ tarafta Ā Kappa, ds̄ m², toplam yine Kappa·m². Sol taraftaki terimde ∇'dan ötürü fazladan bir türev terimi var, ancak 3 katlı integral var; sağ taraftaki terimde 2 katlı integral var.

Stokes teoremi

S bir yüzey, C de S yüzeyini çevreleyen kapalı kontur olsun. Herhangi bir Ā(x, y, z) vektörel alanı için:

∫_S (∇ × Ā) · ds̄ = ∮_C Ā · dl̄

Yani kapalı bir C konturu üzerinde ilerleme sonucu Ā(x, y, z)'ye karşı yapılan toplam iş, ∇ × Ā(x, y, z)'nin S üzerinde oluşturduğu akıya eşittir.

Kolay hatırlamak için (Ā'nın birimi Kappa olsun): sol tarafta ∇ × Ā Kappa/m, ds̄ m², toplam Kappa·m; sağ tarafta Ā Kappa, dl̄ m, toplam Kappa·m. Sol terimde ∇'dan ötürü fazladan bir türev terimi var, ancak 2 katlı integral var; sağ terimde tek katlı integral var.

İki "0" eşitliği

1. Skaler bir alanın gradyantının buklesi 0'dır. f(x, y, z) bir skaler alan olsun:

∇ × (∇f(x, y, z)) = 0

Dolayısıyla buklesi 0 olan bir vektörel alan, bir skaler alanın gradyantı olarak ifade edilebilir. Yani ∇ × Ā(x, y, z) = 0 ise Ā(x, y, z) = ∇f(x, y, z) koşulunu sağlayan bir f(x, y, z) skaler alanı vardır.

2. Vektörel bir alanın buklesinin diverjansı 0'dır. Ā(x, y, z) bir vektörel alan olsun:

∇ · (∇ × Ā(x, y, z)) = 0

Dolayısıyla diverjansı 0 olan bir vektörel alan, başka bir vektörel alanın buklesi olarak ifade edilebilir. Yani ∇ · B̄(x, y, z) = 0 ise B̄(x, y, z) = ∇ × Ā(x, y, z) koşulunu sağlayan bir Ā(x, y, z) vektörel alanı vardır.

Helmholtz teoremi

(i) ∇ × Ā(x, y, z) ve (ii) ∇ · Ā(x, y, z) her yerde biliniyorsa Ā(x, y, z) de her yerde hesaplanabilir.

Bir başka deyişle, bir vektörel alanın buklesini ve diverjansını uzayın her yerinde tanımlamak, söz konusu vektörel alanın kendisini tanımlamaya eşdeğerdir.