EEM226 Elektromanyetik Dalga Teorisi I: Ödev 1, Ortogonal Koordinat Sistemleri (El Yazısı)

Bu yazı, Elektromanyetik dersinin 1. ödevinin el yazısıyla hazırlanmış üç sayfalık çözümüdür; sayfalar 3 Ekim 2010'da fotoğraflanmış. İlk sayfanın başlığında "Elektromanyetik 2 – Ödev 1" yazıyor; konu, vektör analizinin temeli olan ortogonal koordinat sistemleri: kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlar. Aşağıda her sayfanın başlıkları, formülleri ve sonuçları metin olarak verildi; fotoğrafların kendisi arşivde saklanıyor, yayınlanmıyor.

Sayfa 1: Kartezyen koordinatlar

Ortogonal koordinat sistemleri — a) Kartezyen koordinatlar

• x = x₁, y = y₁ ve z = z₁ düzlemleri ancak bir noktada kesişir. Bu noktayı P noktası olarak tanımlarsak P(x₁, y₁, z₁) olarak gösterebiliriz.
• Bu üç koordinat yönünde, birbirine dik aₓ, aᵧ ve a_z birim vektörlerine baz vektörler denir. Bu sistemde sağ el kuralı geçerlidir:

ax × ay = az
ay × az = ax
az × ax = ay

• aₓ · aᵧ = aᵧ · a_z = aₓ · a_z = 0, çünkü eksenler birbirine diktir (A · B = |A| |B| cos θ, θ = 90° için 0).
• aₓ · aₓ = aᵧ · aᵧ = a_z · a_z = 1

P(x₁, y₁, z₁) noktasının konum vektörü, O orijininden P noktasına çizilen vektördür. aₓ, aᵧ ve a_z yönlerindeki bileşenleri sırasıyla x₁, y₁ ve z₁'dir. Böylece:

• OP = aₓ x₁ + aᵧ y₁ + a_z z₁
• Kartezyen koordinatlarda bir vektör: A = aₓ Aₓ + aᵧ Aᵧ + a_z A_z
• Bir diferansiyel uzunluk: dl = aₓ dx + aᵧ dy + a_z dz
• Bir diferansiyel hacim: dv = dx dy dz

Sayfa 2: Skaler ve vektörel çarpım, silindirik koordinatlar

Kartezyen koordinat sisteminde A = aₓ Aₓ + aᵧ Aᵧ + a_z A_z ve B = aₓ Bₓ + aᵧ Bᵧ + a_z B_z şeklinde tanımlansın.

Skaler çarpım:

A · B = (aₓ Aₓ + aᵧ Aᵧ + a_z A_z) · (aₓ Bₓ + aᵧ Bᵧ + a_z B_z) = Aₓ Bₓ + Aᵧ Bᵧ + A_z B_z

Vektörel çarpım:

        | ax  ay  az |
A × B = | Ax  Ay  Az |
        | Bx  By  Bz |

A × B = aₓ (Aᵧ B_z − A_z Bᵧ) + aᵧ (A_z Bₓ − Aₓ B_z) + a_z (Aₓ Bᵧ − Aᵧ Bₓ)

Not: El yazısında aᵧ bileşeni (Aₓ B_z − A_z Bₓ) olarak yazılmış; determinant açılımında bu terimin işareti ters, doğrusu (A_z Bₓ − Aₓ B_z). Ayrıca sayfada B'nin bileşenleri "bₓ Bₓ + …" diye yazılmış; birim vektörler aₓ, aᵧ, a_z olmalı. Yukarıda düzeltilmiş hâlleri verildi.

b) Silindirik koordinatlar

Bu sistemde P noktasını r₁, φ₁ ve z bileşenleriyle hayali bir silindirin yüzeyinde düşünüyoruz: P(r₁, φ₁, z).

• r: radyal uzaklık
• φ: pozitif x ekseniyle yapılan açı

Sağ el kuralı geçerlidir:

ar × aφ = az
aφ × az = ar
az × ar = aφ

• Silindirik koordinatlarda vektör diferansiyel uzunluk: dl = a_r dr + a_φ r dφ + a_z dz
• Diferansiyel hacim: dv = r dr dφ dz

Sayfa 3: Küresel koordinatlar ve dönüşümler

Küresel koordinatlar (Soru 3)

Küresel koordinatlarda bir P noktası üç yüzeyin kesişimi olarak tanımlanır: P(R₁, θ₁, φ₁).

• R = R₁: merkezi orijin olan, yarıçapı R₁ olan kürenin yüzeyi
• θ = θ₁: köşesi orijinde olan, z ekseni ile çakışan, θ₁ açılı dik koni
• φ = φ₁: xz düzlemi ile yapılan açı (yarı düzlem)

Sağ el kuralı geçerlidir:

aR × aθ = aφ
aθ × aφ = aR
aφ × aR = aθ

• Küresel koordinatlarda diferansiyel hacim: dv = R² sin θ dR dθ dφ
• Küresel koordinatlarda diferansiyel uzaklık: dl = a_R dR + a_θ R dθ + a_φ R sin θ dφ

Küresel koordinatlarda bir noktanın konumunun kartezyen koordinatlara dönüştürülmesi:

• x = R sin θ cos φ
• y = R sin θ sin φ
• z = R cos θ

Soru 2: (x, y, z), (r, φ, z) ve (R, θ, φ) eşitlikleri

Çizimde P noktası, orijinden uzaklığı R, z ekseniyle yaptığı açı θ olacak şekilde gösterilmiş; xy düzlemine izdüşümü r uzunluğunda ve x ekseniyle φ açısı yapıyor:

• r = R sin θ
• x = r cos φ
• y = r sin φ
• z = R cos θ