EEM301 Sinyaller ve Sistemler I: Ek Fourier Çözümleri, Formüller ve 2007 Final Soruları

EEM301 arşivindeki Alper Uraz imzalı ek çözümler, iki taranmış Fourier çalışma sayfası ve “2007 sinyal final” başlıklı soru dökümü bir araya getirildi. Final sayfasının yılı 2007; kesin sınav günü yazmıyor. Kayıt tarihi için bu dosyanın 9 Ocak 2011 tarihli arşiv değişiklik zamanı kullanıldı. Tarama asılları ve kısa trigonometrik bağıntı dosyası yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Ayrık zamanlı sistem: örnek 8

Fark denklemi:

y[n]−(3/4)y[n−1]+(1/8)y[n−2]=2x[n].

Gecikme operatörüyle L(q)=2/(1−(3/4)q⁻¹+(1/8)q⁻²). Karakteristik kökler 1/2 ve 1/4’tür. Nedensel dürtü yanıtı A(1/2)ⁿ+B(1/4)ⁿ biçimindedir. Başlangıç örnekleri h[0]=2 ve h[1]=3/2 olduğundan A=4, B=−2 bulunur:

h[n]=[4(1/2)ⁿ−2(1/4)ⁿ]u[n].

x[n]=(1/8)ⁿu[n] için özel çözüm (2/3)(1/8)ⁿ’dir. y[0]=2 ve y[1]=7/4 koşullarıyla:

y[n]=[(2/3)(1/8)ⁿ−4(1/4)ⁿ+(16/3)(1/2)ⁿ]u[n].

Sonraki sayfa aynı sonucu konvolüsyon toplamıyla elde eder. Σₖ₌₀ⁿh[k](1/8)^(n−k) içindeki iki terim sonlu geometrik seriye çevrilir.

Sürekli zamanlı sistem: örnek 11

(p²+6p+8)y(t)=(2p+3)x(t) için p=jω yerleştirilir:

H(jω)=(2jω+3)/[(jω)²+6jω+8].

Dürtü yanıtı h(t)=[2,5e^(−4t)−0,5e^(−2t)]u(t)’dir. x(t)=3e^(−t)u(t) ile doğrudan konvolüsyon:

y(t)=∫₀ᵗ[2,5e^(−4τ)−0,5e^(−2τ)]·3e^(−(t−τ))dτ

=[e^(−t)−2,5e^(−4t)+1,5e^(−2t)]u(t).

RC yüksek geçiren devre: örnek 14

Çıkışın direnç üzerinden alındığı RC devresinde gerilim bölücüsü:

H(jω)=R/[R+1/(jωC)]=jωRC/(1+jωRC).

Birim basamak girişine yanıt e^(−t/RC)u(t)’dir. Dürtü yanıtı, basamak yanıtının türevi olarak δ(t)−e^(−t/RC)u(t)/(RC) biçimindedir.

RC alçak geçiren devre: örnek 15

RC=1 alınan alçak geçiren sistemde H(jω)=1/(1+jω), h(t)=e^(−t)u(t). Birim basamak yanıtı s(t)=[1−e^(−t)]u(t)’dir.

Sonlu dikdörtgen giriş x(t)=u(t)−u(t−T) olduğunda doğrusallık ve zamanla değişmezlikten y(t)=s(t)−s(t−T) elde edilir. İlk kenar kondansatörü doldurur; ikinci kenardan sonra çıkış üstel olarak söner.

Trigonometrik hatırlatma

Ayrı kısa metin dosyası çift açı bağıntılarını hatırlatır: sin2x=2sinx cosx ve cos2x=cos²x−sin²x=1−2sin²x=2cos²x−1.

Geometrik toplamlar ve karmaşık sayı bağıntıları, arşivdeki Fourier Özeti ve Faydalı Bağıntılar (Alper Uraz) yazısında bulunuyor.

Basamaklarla parçalı sinyal kurma

Taranmış çalışma sayfasında x(t)=e^(−2t)[u(3t−3)−2u(t−2)] veriliyor. u(3t−3) t=1’de, ikinci basamak t=2’de başlar. Çarpan t<1’de sıfır, 1≤t<2’de 1, t≥2’de −1’dir. Bu nedenle integral 1–2 ve 2–∞ aralıklarına ayrılır.

Aynı sayfa periyodik dürtü dizisinin spektrumunu, sinüs ve kosinüs dönüşümlerini çiziyor:

• Σδ(t−nT) ↔ (2π/T)Σδ(ω−2πn/T).
• cosω₀t ↔ π[δ(ω−ω₀)+δ(ω+ω₀)].
• sinω₀t ↔ (π/j)[δ(ω−ω₀)−δ(ω+ω₀)].

Fourier dönüşümü özeti

X(jω)=∫x(t)e^(−jωt)dt ve x(t)=(1/2π)∫X(jω)e^(jωt)dω. Sayfada üstel, çift taraflı üstel, dikdörtgen ve sinc çiftleriyle kaydırma, tersleme, ölçekleme, türev ve integral özellikleri sıralanıyor.

• e^(−at)u(t) ↔ 1/(a+jω), a>0.
• t e^(−at)u(t) ↔ 1/(a+jω)².
• |t|<T₁’de birim dikdörtgen ↔ 2sin(ωT₁)/ω.
• sin(Wt)/(πt) ↔ |ω|<W’de birim dikdörtgen.
• 2/(1+t²) ↔ 2πe^(−|ω|).
• x(t+t₀) ↔ e^(jωt₀)X(jω).
• x(−t) ↔ X(−jω); x(at) ↔ X(jω/a)/|a|.
• dx/dt ↔ jωX(jω).
• ∫₋∞ᵗx(τ)dτ ↔ X(jω)/(jω)+πX(0)δ(ω).

Not: El yazısı özetinde e^(−a|t|) için payda (jω)²+a² biçiminde yazılmış. Doğru çift, a>0 için 2a/(a²+ω²)’dir. Tek taraflı üstel çiftlerin bazı satırlarında u(t) de yazılmamış; bu çiftler nedensel üsteller için geçerlidir.

2007 final soru dökümü

Sayfada çözüm değil, aşağıdaki üç soru bulunuyor:

1. y[n]−(1/8)y[n−1]=x[n] ve x[n]=cos(2πn/5). Sıklık yanıtını bulun; x’in Fourier-serisi katsayılarından yararlanarak y’nin Fourier-serisi katsayılarını hesaplayın.
2. y[n]+(1/4)y[n−1]=x[n]. Sıklık yanıtını, büyüklüğünü ve fazını bulun. x[n]=δ[n]−δ[n−1] için y[n]’yi belirleyin.
3. x[n]=(1/2)ⁿu[n] için Fourier dönüşümünü matematiksel olarak hesaplayın. Ardından x[−n], x[2n] ve x[−n−2] dönüşümlerini bulun.