· EEM301
EEM301 Sinyaller ve Sistemler I: Fourier Özeti ve Faydalı Bağıntılar (Alper Uraz)
EEM301 – Sinyaller ve Sistemler I · 03.01.2007 · 16.10.2026
Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM301 Sinyaller ve Sistemler I dersinde Prof. Dr. Alper Uraz'ın dağıttığı iki sayfalık "Fourier Summary" (EEM301-UsefulSummary) formül kâğıdını içeriyor. Belgenin iki sürümü var: Ocak 2007 tarihli ilk sürüm ve 2010'da düzeltilip konvolüsyon özelliği eklenmiş sürüm. Aşağıdaki metin yeni sürümden aktarıldı. Her iki Word dosyası yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.
Konvolüsyon
Konvolüsyon özelliği (2010 sürümünde eklenmiş):
- y(t) = h(t) ∗ x(t) ⟷ Y(ω) = H(ω) X(ω)
- y(n) = h(n) ∗ x(n) ⟷ Y(e^(jω)) = H(e^(jω)) X(e^(jω))
| Sürekli zaman (CT) | Ayrık zaman (DT) | |
|---|---|---|
| Nedensel olmayan x(·), h(·) | y(t) = ∫₋∞^∞ x(τ) h(t − τ) dτ | y(n) = Σ_{k=−∞}^{∞} x(k) h(n − k) |
| Nedensel x(·), h(·) | y(t) = ∫₀ᵗ x(τ) h(t − τ) dτ | y(n) = Σ_{k=0}^{n} x(k) h(n − k) |
Fourier serileri
x(t) ⟷ aₖ ve x(n) ⟷ aₖ (FS):
| CT | DT | |
|---|---|---|
| Sentez denklemi | x(t) = Σ_{k=−∞}^{∞} aₖ e^(jkω₀t) | x(n) = Σ_{k=⟨N⟩} aₖ e^(jkω₀n) |
| Analiz denklemi | aₖ = (1/T) ∫_T x(t) e^(−jkω₀t) dt | aₖ = (1/N) Σ_{n=⟨N⟩} x(n) e^(−jkω₀n) |
Fourier dönüşümleri
x(t) ⟷ X(ω), yani F[x(t)] = X(ω), x(t) = F⁻¹[X(ω)]; ayrık zamanda x(n) ⟷ X(e^(jω)).
| CT | DT | |
|---|---|---|
| Sentez denklemi | x(t) = (1/2π) ∫₋∞^∞ X(ω) e^(jωt) dω | x(n) = (1/2π) ∫_{2π} X(e^(jω)) e^(jωn) dω |
| Analiz denklemi | X(ω) = ∫₋∞^∞ x(t) e^(−jωt) dt | X(e^(jω)) = Σ_{n=−∞}^{∞} x(n) e^(−jωn) |
Faydalı integraller
- ∫ e^(ax) sin nx dx = e^(ax)/(a² + n²) · [a sin nx − n cos nx]
- ∫ e^(ax) cos nx dx = e^(ax)/(a² + n²) · [a cos nx + n sin nx]
- ∫ x sin nx dx = sin nx / n² − x cos nx / n
- ∫ x cos nx dx = cos nx / n² + x sin nx / n
- ∫ x e^(ax) dx = e^(ax) [x/a − 1/a²]
- ∫ p·q dx = p [∫q dx] − ∫ [∫q dx] (dp/dx) dx (kısmi integrasyon)
Faydalı bağıntılar
Sonlu toplam formülü (her karmaşık a için):
- Σ_{n=0}^{N−1} aⁿ = (1 − a^N)/(1 − a), a ≠ 1; a = 1 için N
Sonsuz toplam formülü:
- Σ_{n=0}^{∞} aⁿ = 1/(1 − a), |a| < 1
Türevler:
- Σ_{n=0}^{N−1} n aⁿ = a(1 − a^N)/(1 − a)² − N a^N/(1 − a)
- Σ_{n=0}^{∞} n aⁿ = a/(1 − a)², |a| < 1
Farklı sınırlarla (a ≠ 1, pozitif/negatif M, N ve M ≤ N):
- Σ_{n=M}^{N−1} aⁿ = (a^M − a^N)/(1 − a); a = 1 için N − M
- Σ_{n=M}^{∞} aⁿ = a^M/(1 − a), |a| < 1
- Σ_{n=1}^{N} n = N(N + 1)/2, Σ_{n=1}^{N} n² = N(N + 1)(2N + 1)/6
Not: 2007 tarihli ilk sürümde Σ n aⁿ (n = 0…∞) toplamı a/(1 − a) olarak yazılmıştı; doğrusu a/(1 − a)²'dir ve 2010 sürümünde düzeltilmiş.
Dikdörtgen ↔ kutupsal
Pozitif gerçel a, b ve tam sayı n için:
- a − jb = r e^(jθ₁) ⇒ r = √(a² + b²), θ₁ = tan⁻¹(−b/a) = −tan⁻¹(b/a)
- −a + jb = r e^(jθ₂) ⇒ r = √(a² + b²), θ₂ = π − tan⁻¹(b/a) = π + θ₁
- e^(±jnπ) = cos(nπ) = (−1)ⁿ, sin(nπ) = 0, e^(±j2πn) = 1, e^(j(2n+1)π/2) = j(−1)ⁿ
j'nin kuvvetleri:
- (−j)² = −1, (−j)³ = +j, (−j)⁴ = 1, (−j)⁵ = (−j)⁴(−j)¹ = −j, …
- (+j)² = −1, (+j)³ = −j, (+j)⁴ = 1, (+j)⁵ = (+j)⁴(+j)¹ = +j, …