EEM301 Sinyaller ve Sistemler I: Sürekli ve Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü Sunumları (MIT 6.003, Alan Willsky, 2007)

Bu yazı, EEM301 Sinyaller ve Sistemler I klasöründe kaynak olarak duran üç PowerPoint sunumunu tanıtıyor: MIT Signals and Systems dersinin Bahar 2007 dönemine ait Lecture #8 (6 Mart 2007), #9 (8 Mart 2007) ve #10 (13 Mart 2007); sunumların yazarı Alan Willsky olarak görünüyor. Konular Oppenheim & Willsky kitabının 4. ve 5. bölümlerini izliyor. Sunumlar İngilizce; aşağıda başlıklar ve ana fikirler aktarıldı. Orijinal sunumlar yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

Lecture 8: Sürekli zamanlı Fourier dönüşümü (CTFT)

1. Fourier dönüşümü çiftinin türetilmesi
2. Fourier dönüşümü örnekleri
3. Periyodik sinyallerin Fourier dönüşümü
4. CTFT'nin özellikleri

• Fourier'nin türetmesi: Periyodik olmayan x(t), periyodu T → ∞ giden bir periyodik sinyalin limiti olarak düşünülür. Harmonikler ω₀ = 2π/T aralıklıdır; T büyüdükçe ω₀ → 0 olur, ayrık frekans noktaları sıklaşır ve Fourier serisi toplamı bir integrale dönüşür (kare dalga örneği).
• Hangi sinyaller için geçerli: sonlu enerjili sinyaller (hata sinyalinde enerji sıfır), Dirichlet koşullarını sağlayan sinyaller; x(t) ya da X(jω)'da dürtülere izin verilerek periyodik sinyaller de kapsanır.
• Örnekler: dürtü ve kaydırılmış dürtü, üstel fonksiyonlar (çift ve tek simetri), zamanda kare darbe (iki genişlik arasındaki ters ilişki: belirsizlik ilkesi), Gauss fonksiyonu e^(−at²) (dönüşümü yine Gauss; Δt·Δω ~ 1, iki genişlik birden keyfî küçültülemez).
• Periyodik sinyaller: "çizgi spektrumu"; dürtü katarı (örnekleme fonksiyonu) için zamandaki periyot T, frekanstaki periyot 2π/T (yine ters ilişki).
• Özellikler: doğrusallık, zamanda kayma (genlik değişmez, fazda doğrusal değişim), eşlenik simetri (x(t) gerçel ve çiftse X gerçel ve çift, gerçel ve tekse X sanal ve tek), zaman ölçekleme.

Lecture 9: Konvolüsyon özelliği ve DTFT'ye giriş

1. CTFT'nin konvolüsyon özelliği
2. Frekans yanıtı ve LTI sistemler
3. Çarpma özelliği ve Parseval bağıntısı
4. Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü

• Konvolüsyon özelliği: y(t) = h(t) ∗ x(t) ⟷ Y(jω) = H(jω)X(jω); özfonksiyon özelliğinin bir sonucu. Sürekli zamanlı LTI sistemin frekans yanıtı, dürtü yanıtının Fourier dönüşümüdür.
• Örnekler: türev alıcı (H(jω) = jω, yüksek frekansları kuvvetlendirir, keskin kenarları belirginleştirir); ideal alçak geçiren süzgecin dürtü yanıtı (nedensel mi? h(0) nedir? basamak yanıtının kalıcı değeri nedir?); ardışık süzme işlemleri; Gauss ∗ Gauss = Gauss.
• Doğrusal sabit katsayılı diferansiyel denklemlerle tanımlı LTI sistemler: türev özelliğiyle H(jω) rasyonel bir fonksiyon olur; kısmi kesirlerle h(t) bulunur. X(jω) rasyonelse Y(jω) da rasyoneldir.
• Parseval bağıntısı ve çarpma özelliği: ikilik (dualite) sayesinde zamanda çarpma frekansta konvolüsyona karşılık gelir; genlik modülasyonu örnekleri.
• DTFT'nin türetilmesi: sürekli zamandakine benzer şekilde, periyodu sonsuza giden ayrık periyodik sinyalin Fourier serisinden.

Lecture 10: Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)

1. DTFT örnekleri
2. DTFT'nin özellikleri
3. Konvolüsyon özelliği ve kullanımı

• DTFT çifti: analiz denklemi X(e^(jω)) = Σ x[n]e^(−jωn), sentez denklemi x[n] = (1/2π)∫_{2π} X(e^(jω))e^(jωn) dω. Sentez denkleminde sonlu aralıkta integral alındığı için yakınsama sorunu yok; analiz denklemi için sonlu enerji ya da mutlak toplanabilirlik gerekir.
• Örnekler: sürekli zamandaki örneklerin ayrık karşılıkları, ayrık zamanlı dikdörtgen darbe (N₁ = 2 için çizilmiş), karmaşık üstellerin toplamları: e^(jω₀n)'nin DTFT'si ω₀'da alanı 2π olan bir dürtü, ama X(e^(jω)) 2π periyotlu olmak zorunda olduğundan ω₀ + 2πk noktalarının hepsinde dürtü vardır. Ayrık sinüs ve ayrık periyodik dürtü katarı (frekans domeninde de periyodik dürtü katarı).
• Özellikler: doğrusallık, kaydırmalar, eşlenik simetri, periyodiklik nedeniyle ayrık zamanda farklılaşan özellikler; zamanda genişletme: x[n/2] tanımsız, x[2n] tek indisli değerleri kaçırır; bunun yerine ardışık değerler arasına (k − 1) sıfır eklenerek x_(k)[n] elde edilir; zamanda k kat genişleme frekansta k kat sıkışma demektir. Frekansta türev ve Parseval bağıntısı (zaman ve frekans domenindeki toplam enerji eşit).
• Konvolüsyon özelliği: y[n] = x[n] ∗ h[n] ⟷ Y(e^(jω)) = X(e^(jω))H(e^(jω)); örnekler arasında ideal ayrık zamanlı alçak geçiren süzgeç var.