EEM308 Sinyaller ve Sistemler II: Haziran 2014 Sınavı (Final) Soruları ve Çözümleri

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM 308 Sinyaller ve Sistemler II dersinin Yrd. Doç. Dr. Selda Güney tarafından hazırlanan, 12 Haziran 2014 tarihli fotoğraflarla saklanmış beş soruluk sınavını (dönem sonu sınavı olduğu anlaşılıyor) ve bir öğrencinin puanlanmış çözüm kâğıdını aktarıyor. Çözüm sayfalarında ad veya numara görünmüyor. Daire içindeki kırmızı sayılar alınan puanları gösteriyor. Sorular ve çözümler metin olarak aktarıldı; fotoğrafların kendisi arşivde saklanıyor, yayınlanmıyor.

Sorular

1. Aşağıda verilen bilgiler ışığında X(z) ve x[n]'i bulunuz.

1. x[n] çift yanlıdır ve kararlıdır.
2. X(z)'in iki kutbundan biri z = 1/8'de bulunmaktadır.
3. X(1) = 19/7
4. x[−3] = −3/8, x[−5] = −3/32

2. H(s) ve G(s) arasındaki ilişki G(s) = H(1/s) ise:

• a) H(s) = 1/(s + ½) için |H(jω)| ve |G(jω)|'yı hesaplayarak çiziniz ve transfer fonksiyonu için süzgeç tipini belirleyiniz.
• b) Cebirsel hesaplanan genlik fonksiyonlarında ω = 2 için elde edilen değer ile kutup-sıfır diyagramından vektörel hesaplama ile elde edilen değerlerin aynı olduğunu kanıtlayınız.
• c) H(s) ve G(s) ile ilişkili doğrusal sabit katsayılı diferansiyel denklemi belirleyiniz.

3. İdeal bir bant geçiren süzgecin frekans tepkisi H(jω) şekilde verildiği gibidir: ω₀ − W/2 < |ω| < ω₀ + W/2 aralığında genliği 1, diğer frekanslarda 0.

• a) Bu süzgecin h(t) dürtü tepkisi nedir? (İpucu: ideal alçak geçiren bir süzgecin dürtü tepkisi h_c(t) = sin(ω_c t)/(πt))
• b) İdeal bant geçiren süzgeç, birinci dereceden alçak geçiren ve birinci dereceden yüksek geçiren süzgecin seri bağlanmasıyla elde edilebilir. H₁ = 10³/(10³ + jω) ve H₂ = jω/(100 + jω) transfer fonksiyonlarının seri bağlanmasıyla elde edilen transfer fonksiyonunun Bode genlik diyagramını çiziniz.

4. Gerçel değerli ayrık zaman sinyali x[n]'in, 3π/14 ≤ |ω| ≤ π aralığında değeri sıfır olan bir Fourier dönüşümü X(e^{jω}) mevcuttur. Fourier dönüşümünün bir periyodunun sıfırdan farklı olan kısmını |ω| ≤ π aralığını kapsayacak şekle getirmek için x[n] nasıl bir sistemden geçmelidir? Blok şemayla açıklayınız; sistemin her adımındaki işaretin Fourier dönüşümünün şeklini de çizerek gösteriniz.

5. Eğer X(z), x[n]'nin tek taraflı z dönüşümünü gösteriyorsa, aşağıdakilerin tek taraflı z dönüşümlerini X(z) cinsinden bulunuz: a) x[n + 3], b) x[n − 3].

Öğrenci çözümü

Soru 1: İki taraflı z-dönüşümü

İki taraflı ve kararlı dizi için biçim: x[n] = A(1/8)ⁿ u[n] − B·Cⁿ u[−n − 1].

• x[−3] = −B·C⁻³ = −3/8 ⇒ B = (3/8)C³
• x[−5] = −B·C⁻⁵ = −3/32 ⇒ (3/8)C⁻² = 3/32 ⇒ C² = 4 ⇒ C = 2, B = 3
• X(z) = A/(1 − ⅛z⁻¹) + 3/(1 − 2z⁻¹) ⇒ X(1) = 8A/7 − 3 = 19/7 ⇒ 8A/7 = 40/7 ⇒ A = 5

X(z) = 5/(1 − ⅛z⁻¹) + 3/(1 − 2z⁻¹), 1/8 < |z| < 2

x[n] = 5(1/8)ⁿ u[n] − 3·2ⁿ u[−n − 1]

Soru 2: G(s) = H(1/s)

a) G(s) = H(1/s) = 1/(1/s + ½) = 2s/(s + 2).

• H(jω) = 1/(jω + ½), |H(jω)| = 1/√(ω² + ¼): alçak geçiren (kutup −½'de).
• G(jω) = 2jω/(jω + 2), |G(jω)| = 2|ω|/√(ω² + 4): yüksek geçiren (sıfır orijinde, kutup −2'de).

b) ω = 2 için cebirsel hesap: |H(j2)| = 1/√(4 + ¼) ≈ 0,485, |G(j2)| = 4/√(4 + 4) ≈ 1,414. Kutup-sıfır diyagramında j2 noktasına çizilen vektörlerle: H için kutup vektörü |r| = √((½)² + 4), K = 1 ⇒ |H(j2)| = 1/|r| ≈ 0,485; G için sıfır vektörü |s| = 2, kutup vektörü |r| = √(4 + 4), K = 2 ⇒ |G(j2)| = 2·2/√8 ≈ 1,414. İki yöntem aynı sonucu veriyor.

c) Diferansiyel denklemler:

• H(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + ½) ⇒ dy/dt + ½y(t) = x(t)
• G(s) = 2s/(s + 2) ⇒ dy/dt + 2y(t) = 2 dx/dt

Soru 3: Bant geçiren süzgeç

a) Bant geçiren süzgeç, kesim frekansı ω_c = W/2 olan alçak geçiren süzgecin ±ω₀'a kaydırılmasıdır: H(jω) = H₁(j(ω − ω₀)) + H₁(j(ω + ω₀)), h₁(t) = sin(Wt/2)/(πt). Çözümde sonuç h(t) = [sin(Wt/2)/(πt)]·cos ω₀t olarak verilmiş (10 puan).

Not: Frekansta ±ω₀ kaydırma, zamanda e^{jω₀t} + e^{−jω₀t} = 2cos ω₀t ile çarpmaya karşılık geldiğinden doğrusu h(t) = 2 sin(Wt/2) cos(ω₀t)/(πt)'dir; çözümde 2 çarpanı eksik.

b) H₁(jω) = 1/(1 + jω/10³), H₂(jω) = (jω/10²)/(1 + jω/10²). H = H₁H₂ için:

20 log|H(jω)| = −20 log|1 + jω/10³| − 40 + 20 log|ω| − 20 log|1 + jω/10²|

Kırılma frekansları ω₁ = 10³ ve ω₂ = 10². Asimptotik değerler:

Genlik 10²–10³ rad/s arasında 0 dB, altında +20 dB/dekad yükselen, üstünde −20 dB/dekad düşen bir eğri.

Not: Çözümün kenarına "bant durduran süzgeç" yazılmış; tabloda da görüldüğü gibi sistem 100–1000 rad/s bandını geçiren bir bant geçiren süzgeçtir.

Soru 4: Spektrumu |ω| ≤ π'ye yaymak

X(e^{jω})'nın bant genişliği 3π/14; bunu π'ye çıkarmak için örnekleme hızı 14/3 oranında azaltılmalı. Oran tam sayı olmadığından önce 3 ile ara değerleme, sonra 14 ile ondalıklama yapılıyor:

x[n] → sıfır yerleştirme → w[n] → alçak geçiren süzgeç (kesim ±π/14) → p[n] → ondalıklama → y[n]

• Sıfır yerleştirme: w[n] = x[n/3] (n = 0, ±3, ±6, …), aksi takdirde 0. W(e^{jω}) = X(e^{j3ω}): ana bant ±π/14'e daralır, ±2π/3 çevresinde (25π/42–31π/42) kopyalar oluşur.
• Süzgeç kopyaları atar; P(e^{jω}) yalnız |ω| ≤ π/14 bandını içerir.
• Ondalıklama: y[n] = p[14n]; spektrum 14 kat genişler ve Y(e^{jω}) tüm (−π, π) aralığını kaplar.

Not: Çözümde w[n] = x[n/2] yazılmış; n = 0, ±3, ±6 örnekleriyle tutarlı olan ifade x[n/3]'tür.

Soru 5: Tek taraflı z-dönüşümünde öteleme

a) y[n] = x[n + 3]:

Y(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n + 3] z⁻ⁿ = z³ Σₙ₌₃^∞ x[n] z⁻ⁿ

Y(z) = z³X(z) − x[0]z³ − x[1]z² − x[2]z

b) y[n] = x[n − 3]:

Y(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n − 3] z⁻ⁿ = z⁻³X(z) + (n = 0, 1, 2 için gelen x[−3], x[−2], x[−1] terimleri)

Y(z) = z⁻³X(z) + x[−1]z⁻² + x[−2]z⁻¹ + x[−3]

Çözüm sayfaları