EEM308 Sinyaller ve Sistemler II: EEM302 MATLAB Ödevi (2007) ve Öğrenci Çözümleri, Kutup-Sıfır Diyagramları

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM 302 Sinyaller ve Sistemler II dersinde (ders daha sonra EEM 308 koduyla verildi) Yrd. Doç. Dr. Mustafa Doğan'ın 2007 bahar döneminde verdiği MATLAB ödevini ve bu ödeve arkadaşların hazırladığı MATLAB çözümlerini bir araya getiriyor. Ödev, Computer Explorations in Signals and Systems Using MATLAB (Buck, Daniel, Singer; 2. baskı) kitabının Laplace ve z-dönüşümü bölümlerinden seçilmiş problemlerden oluşuyor. 2011'de aynı ödev sisteminde hazırlanmış iki kısa çözüm de eklendi.

Çözümler arkadaşların çalışmalarıdır; dosya adlarındaki ve kodlardaki ad ve öğrenci numaraları çıkarıldı, dosyalar problem numarasına göre yeniden adlandırıldı. Ödev dağıtım listesi (öğrenci adları ve numaraları içerdiği için) ve kitap sayfalarının fotoğrafları yayınlanmadı; problem dağılımı aşağıda adsız olarak verildi. Temizlenmiş .m dosyaları yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Ödevin kuralları ve problem dağılımı

Ödev listesinin başlığı: EEM 302 MATLAB HW — "Computer Explorations in Signals and Systems 2nd ed. – BUCK" — Yrd. Doç. Dr. Mustafa Doğan. Ödevler 25 Mart (Pazar) saat 24:00'e kadar bölümün web sunucusundaki yükleme adresine gönderilecekti. Sınıf sekiz gruba ayrılmış, her gruba kitaptan iki problem verilmişti:

Ödevlerde dikkat edilmesi gerekenler:

1. Gönderilecek tek dosya, örnekteki gibi öğrenciNo.m biçiminde adlandırılmalı. Ödevde yapılması gereken her şey (tüm şıklar) bu m-dosyasının içinde olmalı ve dosya çalışır olmalı.
2. Değerlendirmede açıklamaların ve soruların cevaplarının katkısı çok daha fazla olacak. Değerlendirilmesi istenen açıklamalar display('sözel cevaplar ve açıklamalar...'); örneğindeki gibi display ile Command Window'a yazdırılmalı.
3. Değerlendirilmesi istenmeyen çıktılar Command Window'da görünmemeli (; kullanılmadığında çıktı Command Window'da görünür).

Sayfa 166 (a) ve 178 (i): Kutup-sıfır diyagramları

166 (a). H₁(s) = 4 / (s² + 2s + 17), Re(s) > −1 sistem fonksiyonunun pay ve payda katsayılarını b1 ve a1 vektörleri olarak tanımlayıp roots ile kutupları bulmak ve çizmek.

178 (i). H₃(z) = (0,25 − (√3/2)z⁻¹ + z⁻²) / (1 − (√3/2)z⁻¹ + 0,25z⁻²), |z| > 0,5 sisteminin kutuplarını ve sıfırlarını bulup çizmek; kutup ve sıfır konumlarının nasıl ilişkili olduğunu açıklamak.

Bu gruba ait iki çözüm var. İkisi de aynı yolu izliyor; ikincisinin bir sürümü kitaptaki plotpz mantığıyla eksenleri, ROC sınırını ve birim çemberi de çiziyor:

b1=[4];
a1=[1 2 17];
zeros=roots(b1);
poles=roots(a1);

disp('Soru : 166 (a) için');
disp('Kutuplar:');
disp(poles);

figure (1);
plot(real(zeros),imag(zeros),'o');
hold on
plot(real(poles),imag(poles),'x');
grid
title('Soru : 166 (a)');
xlabel('Re');
ylabel('Im');
axis([-5 5 -5 5]);

b=[0.25 -(sqrt(3)/2) 1];
a=[1 -(sqrt(3)/2) 0.25];
zs=roots(b);
ps=roots(a);
disp('Soru : 178 (i) için');
disp('Sıfırlar:'); disp(zs);
disp('Kutuplar:'); disp(ps);

Sonuçlar: 166 (a)'da kutuplar s = −1 ± j4 (pay sabit olduğundan sonlu sıfır yok). 178 (i)'de kutuplar z = 0,5·e^(±jπ/6) (= 0,433 ± j0,25), sıfırlar z = 2·e^(±jπ/6) (= 1,732 ± j1).

Not: Çözümler yalnızca "2 kutup ve 2 sıfır bulunmuştur" diyor; sorunun asıl istediği ilişki şu: sıfırlar, kutupların birim çembere göre yansımaları (1/p) ve pay katsayıları paydanınkilerin ters sırası. Bu yüzden sistem tüm geçiren (all-pass) bir süzgeç, |H₃(e^jω)| = 1 sabit (z = 1'de pay ve payda ikisi de 0,384). Ayrıca kodlardaki rsmak('circle') satırı MATLAB'ın Spline Toolbox'ına bağlı; bu araç kutusu yoksa hata verir.*

|H₁(s)| yüzeyi

Aynı problem için hazırlanmış bir başka dosya, |H₁(s)|'i s-düzleminde bir yüzey olarak çiziyor: σ, −1'in hemen sağından 3'e kadar 32 örnek (σ = −1 + k/8, k = 1…32), ω ∈ [−10, 10] aralığı 0,5 adımla; meshgrid ile s = σ + jω ızgarası kuruluyor, H₁ = polyval(b1,s)./polyval(a1,s) hesaplanıp mesh ile çiziliyor ve jω ekseni boyunca yüzeyin kesiti mavi çizgiyle (plot3) işaretleniyor. Açıklamadaki sonuç: yüzey kutuplara yaklaştıkça hızla büyüyor; kutupların frekans yanıtını nasıl etkilediği 3 boyutlu çizimde görülüyor.

Sayfa 163 (b): İkinci dereceden sistemde sönüm oranı

Problem, ikinci dereceden sistem H(s) = ωₙ² / (s² + 2ζωₙs + ωₙ²) için ωₙ = 1 alıp sönüm oranı ζ'nin farklı değerlerinde kutupları ve frekans yanıtını incelemeyi istiyor. İki çözüm de ord2, printsys ve freqs komutlarıyla ζ = 0, 1/4, 1 ve 2 için |H(jω)|'yı ω ∈ [−5, 5] aralığında çiziyor:

wn=1
omega=[-5:0.1:5]
damping_ratio=1/4
[num0,den]=ord2(wn,damping_ratio);
num=wn^2*num0
printsys(num,den)
freqs(num,den,omega)
display('0<damping_ratio<1 olduğunda polinomun kutupları kompleks sayı olur dolayısıyla step response ve impulse responsları salınıma sahip olur...');

Çözümlerdeki açıklamaların özeti:

• ζ = 0: Kutuplar sanal eksende (s = ±jωₙ).
• 0 < ζ < 1: Kutuplar karmaşık eşlenik; basamak ve dürtü yanıtı salınımlı. ζ küçüldükçe kutuplar jω eksenine yaklaşıyor ve |H(jω)| (çözümlere göre) ω = ωₙ√(1 − ζ²) frekansında tepe yapıyor; sistem ideal olmayan bir bant geçiren süzgeç gibi davranıyor.
• ζ = 1: Kutuplar reel eksende (çift kutup); ω arttıkça |H(jω)| monoton azalıyor.
• ζ > 1: Düşük ω değerlerinde |H(jω)| ω'daki değişime daha duyarlı hâle geliyor.
• ω = 0'da dört sistemin de |H(j0)| = 1 olduğu, çünkü fonksiyonun bu noktada sabite indirgendiği belirtiliyor.

Not: Çözümlerde birkaç düzeltme gerekiyor. ζ = 0'da tepe "oluşmuyor" değil, tersine ω = ωₙ = 1'de |H| sonsuza gidiyor (ω ızgarası 1'i tam içerdiğinden freqs bu noktada Inf üretir ve çizimde görünmez). Rezonans tepesinin konumu ωₙ√(1 − ζ²) değil ωₙ√(1 − 2ζ²)'dir ve yalnız ζ < 1/√2 için oluşur; √(1 − ζ²) sönümlü salınım frekansıdır. Kutuplar ζ ≥ 1 için (yalnız ζ = 1'de değil) reeldir; ζ > 1'de iki ayrı reel kutup oluşur, biri orijine yaklaşırken öteki sola uzaklaşır.

Sayfa 177: Kutup vektörlerinin uzunlukları

Problem, H₁(z) = 1 / (1 − 0,9z⁻¹ + 0,81z⁻²) sistemi için birim çember üzerindeki 512 noktadan (ω = k·π/256) kutuplara çizilen vektörlerin uzunluklarını ve açılarını hesaplamayı, frekans yanıtıyla ilişkisini göstermeyi istiyor. Çözümlerin çekirdeği:

omega=[0:511]*pi/256;
unitcirc=exp(j*omega);
num=[1 0 0];
den=[1 -0.9 0.81];
ps1=roots(den)
polevectors1=ones(2,1)*unitcirc-ps1*ones(1,512);
polelength1=abs(polevectors1);
poleangle1=atan2(imag(polevectors1),real(polevectors1));
zerovectors1=ones(2,1)*unitcirc;      % z = 0'daki iki sıfır
zerolength1=abs(zerovectors1);
plot(omega,polelength1,'r',omega,zerolength1,'g')

Kutuplar z = 0,9·e^(±jπ/3) (= 0,45 ± j0,779); H₁(z) = z²/(z² − 0,9z + 0,81) yazıldığında z = 0'da iki sıfır olduğundan sıfır vektörlerinin uzunluğu her frekansta 1'dir.

Not: Bir çözümdeki sonuç cümlesi ("|H₁| kutup uzunluklarının maksimum ve minimum olduğu yerlerde minimum, 1 olduğu yerlerde maksimum") yanlış. Sıfır uzunlukları 1 olduğundan |H₁(e^jω)| = 1 / (|e^jω − p₁|·|e^jω − p₂|) olur: kutup vektörlerinin kısaldığı ω ≈ ±π/3 civarında |H₁| en büyük, uzadığı ω = π civarında en küçüktür.

Sayfa 169 (a) (2011)

2011'de aynı problem setinden hazırlanmış kısa bir çözüm, nedensel sistemi H(s) = 1/(s + 2) olarak tf([1],[1 2]) ile tanımlıyor ve nedensel olmayan karşılığı için zaman ters çevrilmiş denklemden (−dy(−t)/dt − 2y(−t) = −x(−t)) yola çıkıp ikinci bir transfer fonksiyonu kuruyor. 2011 tarihli 177 (b) çözümü yukarıdaki kutup vektörü hesabının aynısı; dosyadaki nota göre ayrıntılı açıklamalar ve Laplace sorusu elle yazılıp ayrıca teslim edilmiş.

Ev çalışması: Bant sınırlı 90° faz kaydırıcının dürtü yanıtı

Aynı klasörde, 27 Mart 2007 tarihli, bir arkadaşın el yazısı "Ev Çalışması" sayfasının fotoğrafı da vardı (fotoğraflanmış sayfadan metne aktarıldı; fotoğraf yayınlanmadı). Frekans yanıtı |ω| < ω_c bandında

H(jω) = e^(jπ/2), 0 < ω < ω_c; H(jω) = e^(−jπ/2), −ω_c < ω < 0

olan sistemin dürtü yanıtı ters Fourier dönüşümüyle bulunuyor:

h(t) = (1/2π) ∫₀^ω_c e^(jπ/2) e^(jωt) dω + (1/2π) ∫₋ω_c⁰ e^(−jπ/2) e^(jωt) dω = (1/2πt) (e^(jω_c t) − 1) − (1/2πt) (1 − e^(−jω_c t)) = (cos ω_c t − 1) / (πt)

ve cos ω_c t = 1 − 2 sin²(ω_c t/2) kullanılarak

h(t) = −2 sin²(ω_c t / 2) / (πt)

sonucuna ulaşılıyor. (Sonucu kontrol ettik; doğru.)