EEM308 Sinyaller ve Sistemler II: Örnekleme Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM 308 Sinyaller ve Sistemler II dersinin örnekleme konusuna ait üç sayfalık el yazısı "Örnekler" notunu aktarıyor. Not, dersin "Örnekleme" sunumuyla birlikte dağıtılmış; soruların çoğu ders kitabı Oppenheim & Willsky'nin 7. bölüm problemlerine dayanıyor. Hazırlayanın adı belgede yazmıyor; el yazısı aynı dönemin kısa sınav cevap anahtarlarıyla aynı. Taranmış notun PDF'i yazının sonunda indirilebilir.

Örnek 1: Örnekleme frekansından bant sınırı

Soru: x(t) sinyalinin örnekleme frekansı ω_s = 10000π olduğu bilinmektedir. ω'nın hangi değeri için X(jω) = 0'dır?

Çözüm: Nyquist kriterine göre ω_s ≥ 2ω olmalıdır; |ω| > ω_s/2 için X(jω) = 0 ise işaret yeniden oluşturulabilir. Bu yüzden ω > 5000π için X(jω) = 0 olmalıdır.

Örnek 2: Nyquist hızları

Aşağıdaki fonksiyonların Nyquist hızlarını bulunuz.

a) x(t) = 1 + cos(2000πt) + sin(10000πt)

En yüksek frekans ω_M = 10000π, dolayısıyla ω_N = 2ω_M = 20000π.

b) x(t) = sin(4000πt)/(πt)

X(jω), −4000π ile 4000π arasında dikdörtgen bir fonksiyondur; ω_N = 2ω_M = 8000π.

c) x(t) = (sin(4000πt)/(πt))²

x(t) = x₁(t)·x₂(t), x₁ = x₂ = sin(4000πt)/(πt). Zamanda çarpım frekansta konvolüsyondur: X(jω) = (1/2π) X₁(jω) ∗ X₂(jω). Genişliği ±4000π olan iki dikdörtgenin konvolüsyonu ±8000π'ye kadar uzanır; böylece |ω| > 8000π için X(jω) = 0 olur ve ω_N = 2ω_M = 16000π bulunur.

Örnek 3: Çarpım sinyalinin örnekleme aralığı

Soru: x₁(t) ve x₂(t) çarpılarak w(t) elde ediliyor, sonra w(t) p(t) = Σ δ(t − nT) dürtü katarıyla örneklenerek w_p(t) oluşturuluyor. X₁(jω) = 0 (|ω| ≥ ω₁) ve X₂(jω) = 0 (|ω| ≥ ω₂) ise, w(t)'nin w_p(t)'den alçak geçiren süzgeç kullanılarak elde edilebilmesi için T'nin en yüksek örnekleme aralığını belirleyin.

Çözüm: Çarpımın spektrumu konvolüsyon olduğundan W(jω) = 0, |ω| > ω₁ + ω₂. w(t)'nin örnekleme frekansı ω_s > 2(ω₁ + ω₂) olmalıdır:

2π/T > 2(ω₁ + ω₂) ⇒ T < π/(ω₁ + ω₂), yani T_max = π/(ω₁ + ω₂).

Örnek 4: Ayrık zamanda örtüşmesiz örnekleme aralığı

Soru: x[n]'in etkin örneklemesi için g[n] = Σₖ x[n] δ[n − kN] yaklaşımı kullanılmış olsun. 3π/7 ≤ |ω| ≤ π için X(e^{jω}) = 0 kabul edilirse, örtüşme olmayacağını varsayarak N örnekleme aralığının en büyük değerini belirleyiniz.

Çözüm: ω_M = 3π/7. Örtüşme olmaması için 2π/N ≥ 2ω_M = 6π/7 ⇒ N ≤ 7/3. N tam sayı olmak zorunda olduğundan N = 2.

Örnek 5: h[2n] süzgecinin frekans yanıtı

Soru: −π ≤ ω ≤ π frekans aralığında ideal ayrık zaman bant söndüren (band-stop) süzgeç

H(e^{jω}) = 1 (|ω| ≤ π/4 ve |ω| ≥ 3π/4), 0 (diğer)

ile tanımlı olsun. Birim dürtü yanıtı h[2n] olan süzgecin frekans yanıtını belirleyin.

Çözüm (nottaki): h_p[n] = h[2n] ⇒ H_p(e^{jω}) = H(e^{jω/2}). Çizimde H_p(e^{jω}), |ω| ≤ π/2 için 1, π/2 < |ω| < 3π/2 için 0 olan ve 2π ile tekrarlayan bir alçak geçiren süzgeç olarak gösterilmiş.

Not: Ondalıklamanın tam ifadesi H_p(e^{jω}) = ½[H(e^{jω/2}) + H(e^{j(ω−2π)/2})]'dir; nottaki formülde ikinci (örtüşen) terim ve ½ çarpanı yazılmamış. Bu süzgeçte |ω| ≤ π/2 bandında iki terim de 1, π/2 < |ω| ≤ π'de ikisi de 0 olduğu için sonuç değişmiyor: h[2n], kesim frekansı π/2 ve kazancı 1 olan ideal alçak geçiren süzgeçtir.

Örnek 6: Sıfır ekleme, süzme ve seyreltme

Soru: Girişi x[n], çıkışı y[n] olan ve şekilde verilen sistemi göz önünde bulundurun. Sıfır eklemeli sistemin, x[n]'in birbirini takip eden değerleri arasına sıfır genlikli iki nokta eklediğini düşünelim. Örnek seyreltmenin y[n] = w[5n] şeklinde tanımlandığını kabul edelim. Eğer x[n] = sin(ω₁n)/(πn) ise ω₁ değerleri için y[n] çıktılarını belirleyiniz.

Sistem: x[n] → sıfır ekleme (her örnek arasına 2 sıfır) → x₁[n] → H(e^{jω}) (kesim frekansı π/5, kazancı 1 olan ideal alçak geçiren süzgeç) → w[n] → seyreltme → y[n].

Çözüm (ω₁ ≤ 3π/5 için):

• X(e^{jω}) = 1 (|ω| ≤ ω₁), 0 (diğer).
• 2 sıfır eklenince 3 örnekleme zamanı araya girer: zamanda 3 kat genişleyen işaretin spektrumu frekansta 1/3 oranında daralır. X₁(e^{jω}) = X(e^{j3ω}): bantlar ±ω₁/3 ve ±2π/3 çevresinde tekrarlanır.
• ω₁/3 ≤ π/5 olduğundan süzgeç ana bandı olduğu gibi geçirir, ±2π/3 çevresindeki kopyaları atar: W(e^{jω}) = 1 (|ω| ≤ ω₁/3), yani w[n] = sin(ω₁n/3)/(πn).
• y[n] = w[5n]: spektrum 5 kat genişler ve 1/5 ile ölçeklenir. Y(e^{jω}) = 1/5 (|ω| ≤ 5ω₁/3).

y[n] = sin(5ω₁n/3) / (5πn) = (1/5) · sin(5ω₁n/3)/(πn)