EEM322 Denetim Sistemleri: Ders Defteri (Mart 2013) – Durum Uzayı, Durum Geçiş Matrisi, Eş ve Kipsel Biçim, Denetlenebilirlik ve Gözlenebilirlik

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM322 Denetim Sistemleri dersinin 2013 bahar dönemine ait bir arkadaşın ders defterinden durum uzayı konusunu içeriyor (7, 14 ve 16 Mart 2013'te çekilmiş sayfalar). İçerik fotoğraflanmış sayfalardan metne aktarıldı; fotoğraflar yayınlanmadı. Örnekler derste İngilizce yazılmış, Türkçe kenar notları da aktarıldı. Hesaplar kontrol edildi; defterdeki küçük yazım hataları notlarla belirtildi. Bulanık çekilmiş bir sayfa okunamadığı için atlandı.

Konu anlatımı için Ders 3 yazısına bakılabilir. Defterin önceki ve sonraki bölümleri: modelleme ve blok diyagramları, kalıcı durum hatası, Routh ve kök yer eğrisi.

Mason kuralıyla sağlama

Sayfanın başında bir blok diyagramı indirgemesinin sonucu (G₁ + G₂)/(1 + G₁H) işaret akış grafiğiyle doğrulanıyor: ileri yollar P₁ = G₁, P₂ = G₂, döngü L₁ = −G₁H, Δ = 1 + G₁H, Δ₁ = Δ₂ = 1 ⇒ (P₁Δ₁ + P₂Δ₂)/Δ = (G₁ + G₂)/(1 + G₁H).

Örnek 1: Durum denkleminin çözümü

Durum uzayı modelinin blok diyagramı: u → B → toplama → ẋ → ∫ → x → C → (D ile toplanarak) y, A ile geri besleme.

• ẋ = [[−1, −3], [1, −5]] x + [1, 0]ᵀ u, y = [1, −1] x, D = 0
• u(t) = 1 (t ≥ 0), x(0) = [1, 0]ᵀ

(a) Sıfır giriş (homojen) çözümü: X(s) = (sI − A)⁻¹x(0) ya da x(t) = e^(At)x(0). Çözücü (resolvent) matris:

• sI − A = [[s + 1, 3], [−1, s + 5]], det(sI − A) = s² + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4)
• (sI − A)⁻¹ = (1/Δ(s))·[[s + 5, −3], [1, s + 1]]
• Kısmi kesirler: [[3/2/(s+2) − 1/2/(s+4), −3/2/(s+2) + 3/2/(s+4)], [1/2/(s+2) − 1/2/(s+4), −1/2/(s+2) + 3/2/(s+4)]]

Ters Laplace ile durum geçiş matrisi:

• Φ(t) = e^(At) = [[(3/2)e^(−2t) − (1/2)e^(−4t), −(3/2)e^(−2t) + (3/2)e^(−4t)], [(1/2)e^(−2t) − (1/2)e^(−4t), −(1/2)e^(−2t) + (3/2)e^(−4t)]]
• Sıfır giriş durum yanıtı: x(t) = e^(At)[1, 0]ᵀ = [(3/2)e^(−2t) − (1/2)e^(−4t), (1/2)e^(−2t) − (1/2)e^(−4t)]ᵀ

(b) u(t) = 1 ve x(0) = [1, 0]ᵀ için çıkış:

• Y(s) = C(sI − A)⁻¹x(0) + C(sI − A)⁻¹B U(s)
• = (1/Δ(s))·{[1, −1][s + 5, 1]ᵀ + [1, −1][(s + 5)/s, 1/s]ᵀ} = (s² + 5s + 4)/[sΔ(s)] = (s + 1)/[s(s + 2)]
• y(t) = 1/2 + (1/2)e^(−2t)

Kaynaktaki not: Bütün sadeleştirmeler ve matris işlemleri Laplace bölgesinde yapılmalı, ters Laplace en sonda uygulanmalı.

Örnek 2: RLC devresinin durum denklemleri

vi kaynağı, R₁ = 4 kΩ, C₁ = 0.25 mF, L = 2 mH, C₂ = 0.5 mF, R₂ = 1 kΩ ve is akım kaynağından oluşan devre. Düğüm denklemleri:

• C₁ dv₁/dt + iL − (vi − v₁)/R₁ = 0 ⇒ 0.00025 dv₁/dt + iL − (vi − v₁)/4000 = 0
• C₂ dv₂/dt − iL + v₂/R₂ − is = 0 ⇒ 0.0005 dv₂/dt − iL + v₂/1000 − is = 0
• L diL/dt + v₂ − v₁ = 0 ⇒ 0.002 diL/dt + v₂ − v₁ = 0

Durum değişkenleri x₁ = v₁, x₂ = v₂, x₃ = iL; girişler u₁ = vi, u₂ = is; çıkış y = v₂:

• ẋ₁ = −x₁ − 4000x₃ + u₁
• ẋ₂ = −2x₂ + 2000x₃ + 2000u₂
• ẋ₃ = 500x₁ − 500x₂
• A = [[−1, 0, −4000], [0, −2, 2000], [500, −500, 0]], B = [[1, 0], [0, 2000], [0, 0]], C = [0, 1, 0]

Not: Defterde ilk denklem "dv₁/dt = v₁ − 4000iL + vi" diye yazılmış; doğrusu −v₁ (durum değişkenli yazımda doğru: −x₁).

Örnek 3: Eş (companion) biçime dönüşüm

Örnek 1'deki sistem için karakteristik denklem Δ(s) = |sI − A| = s² + 6s + 8 = 0.

• Denetlenebilirlik matrisi U = [B, AB] = [[1, −1], [0, 1]], |U| ≠ 0 ⇒ eş biçim mümkün
• U⁻¹ = [[1, 1], [0, 1]], q = [0, 1]U⁻¹ = [0, 1] (U⁻¹'in son satırı)
• Q = [q; qA] = [[0, 1], [1, −5]], Q⁻¹ = [[5, 1], [1, 0]]
• w = Qx dönüşümüyle ẇ = QAQ⁻¹w + QBu = [[0, 1], [−8, −6]]w + [0, 1]ᵀu
• y = CQ⁻¹w + Du = [4, 1]w

Örnek 4: Kipsel (modal) matris

Eş biçimdeki sistem: ẇ = [[0, 1], [−8, −6]]w + [0, 1]ᵀu, y = [4, 1]w, w(0) = Qx(0) = [0, 1]ᵀ.

• Δ(s) = |sI − Ac| = s² + 6s + 8 ⇒ λ₁ = −2, λ₂ = −4
• Vandermonde yaklaşımıyla özvektörler doğrudan: m₁ = [1, λ₁]ᵀ = [1, −2]ᵀ, m₂ = [1, λ₂]ᵀ = [1, −4]ᵀ
• M = [[1, 1], [−2, −4]], M⁻¹ = [[2, 0.5], [−1, −0.5]]
• Λ = M⁻¹AcM = diag(−2, −4), Γ = M⁻¹Bc = [0.5, −0.5]ᵀ, F = CcM = [2, 0]
• ż = Λz + Γu, y = Fz

Üç gösterimin aktarım işlevi:

• G(s) = C(sI − A)⁻¹B = (s + 4)/[(s + 2)(s + 4)] = 1/(s + 2)
• Gc(s) = Cc(sI − Ac)⁻¹Bc = [4, 1]·(1/Δ)[[s + 6, 1], [−8, s]]·[0, 1]ᵀ = 1/(s + 2)
• Gm(s) = F(sI − Λ)⁻¹Γ = 1/(s + 2)

G(s) = Gc(s) = Gm(s) ve Δ(s) = |sI − A| = |sI − Ac| = |sI − Λ|, beklendiği gibi.

4(b) Kipsel ayrışım (serbest yanıt): ẇ = [[0, 1], [−8, −6]]w için yeni başlangıç vektörü z(0) = M⁻¹w(0) = [0.5, −0.5]ᵀ.

• w = Mz = M e^(Λt) z(0) = [m₁, m₂]·diag(e^(−2t), e^(−4t))·z(0)
• w(t) = 0.5e^(−2t)[1, −2]ᵀ − 0.5e^(−4t)[1, −4]ᵀ

Not: Defterde Örnek 4'ün başında eş biçim matrisi işaretsiz ([[0, 1], [8, 6]]) yazılmış, doğrusu [[0, 1], [−8, −6]]. M⁻¹'in ikinci satırı da [−1, 0.5] diye yazılmış, doğrusu [−1, −0.5] (Γ bu doğru değerle hesaplanmış). Serbest yanıtta ikinci terimin katsayısı −0.5 olmalı; böylece w(0) = [0, 1]ᵀ sağlanıyor.

Örnek 5: Aktarım işlevi ayrıştırmaları

G(s) = (3s² + 9s + 6)/(s³ + 7s² + 12s) = 3(s + 1)(s + 2)/[s(s + 3)(s + 4)]

(i) Doğrudan ayrıştırma:

• Y/U = (3s⁻¹ + 9s⁻² + 6s⁻³)/(1 + 7s⁻¹ + 12s⁻²)
• X(s) = U(s) − 7s⁻¹X(s) − 12s⁻²X(s), Y(s) = 3s⁻¹X(s) + 9s⁻²X(s) + 6s⁻³X(s)
• İntegratör çıkışları durum değişkeni seçilerek zaman bölgesine geçiliyor: ẋ = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, −12, −7]]x + [0, 0, 1]ᵀu, y = [6, 9, 3]x

(ii) Kaskad (seri) ayrıştırma: Y/U = (3/s)·[(s + 1)/(s + 3)]·[(s + 2)/(s + 4)]

• (s + z)/(s + p) = (1 + z s⁻¹)/(1 + p s⁻¹) ⇒ X = U − p s⁻¹X, Y = X + z s⁻¹X
• a/s ⇒ X = U, Y = a s⁻¹X
• Bloklar 1/s·3 → (s + 1)/(s + 3) → (s + 2)/(s + 4) sırasıyla dizilip integratörler açılınca üçgen biçimli (triangle form) A matrisi çıkıyor: ẋ = [[−4, −2, 3], [0, −3, 3], [0, 0, 0]]x + [0, 0, 1]ᵀu, y = [2 − 4, 1 − 3, 3]x = [−2, −2, 3]x

Not: Defterdeki matrisin (2,3) elemanı −3 gibi okunuyor; (s + 1)/(s + 3) bloğunun girişi 3x₃ olduğundan ẋ₂ = −3x₂ + 3x₃, yani eleman +3 olmalı.

(iii) Paralel ayrıştırma: İlk adım kısmi kesir açılımı:

• G(s) = (1/2)/s − 2/(s + 3) + (9/2)/(s + 4)
• a/(s + p) = a s⁻¹/(1 + p s⁻¹) ⇒ X = U − p s⁻¹X, Y = a s⁻¹X
• ẋ = [[0, 0, 0], [0, −3, 0], [0, 0, −4]]x + [1, 1, 1]ᵀu, y = [1/2, −2, 9/2]x

Denetlenebilirlik ve gözlenebilirlik: su tankları (Örnek 6, ρ = 1)

(a) Üstteki tank (A₁, R₁) alttaki tanka (A₂, R₂) boşalıyor, giriş u alt tanka, çıkış y = x₂/R₂:

• A₁ẋ₁ = −x₁/R₁, A₂ẋ₂ = x₁/R₁ − x₂/R₂ + u
• A₁ = A₂ = 1, R₁ = R₂ = 1 için ẋ = [[−1, 0], [1, −1]]x + [0, 1]ᵀu, y = [0, 1]x
• U = [B, AB] = [[0, 0], [1, −1]] ⇒ rank 1 (determinant 0) ⇒ denetlenemez
• V = [C; CA] = [[0, 1], [1, −1]] ⇒ rank 2 ⇒ gözlenebilir

Not: Defterde genel matrisin ikinci satırı [1/(R₁R₂), −1/(R₁A₂)] diye yazılmış; denklemlere göre doğrusu [1/(R₁A₂), −1/(R₂A₂)], B = [0, 1/A₂]ᵀ.

(b) Giriş üst tanka, çıkış üst tankın debisi (y = [1, 0]x): ẋ = [[−1, 0], [1, 0]]x + [1, 0]ᵀu ⇒ denetlenebilir, gözlenemez.

(c) Giriş ve çıkış birinci tankta, ikinci tank bağlantısız: ẋ = [[−1, 0], [0, 0]]x + [1, 0]ᵀu, y = [1, 0]x ⇒ denetlenemez, gözlenemez.

(d) Yan yana, R₁ ile bağlı iki tank; giriş birinci tanka, çıkış ikinci tankın R₂ üzerinden debisi:

• A₁ẋ₁ = (x₂ − x₁)/R₁ + u, A₂ẋ₂ = −(x₂ − x₁)/R₁ − x₂/R₂, y = x₂/R₂
• Birim değerlerle ẋ = [[−1, 1], [1, −2]]x + [1, 0]ᵀu, y = [0, 1]x ⇒ denetlenebilir ve gözlenebilir

Örnek 7: Benzerlik dönüşümünde değişmezlik

Örnek 4'teki köşegen biçim: ż = diag(−2, −4)z + [0.5, −0.5]ᵀu, y = [2, 0]z. Λ'nın elemanları negatif olduğundan sistem kararlı; çıkış matrisindeki 0 yüzünden λ₂ = −4 kipi gözlenemiyor.

Denetlenebilirlik ve gözlenebilirlik özellikleri benzerlik dönüşümü altında değişmez. Gözlenemeyen λ₂ = −4 kipi, Örnek 4'teki aktarım işlevinde sadeleşen (s + 4) çarpanı olarak görülüyor: G(s) = Gc(s) = Gm(s) = (s + 4)/[(s + 2)(s + 4)] = 1/(s + 2).