· EEM322

EEM322 Denetim Sistemleri: Eski Ara Sınavlar ve Çözümleri 1993–2000 (Hacettepe Üniversitesi, ELE 354)

EEM322 – Denetim Sistemleri · 13.04.2000 · 16.10.2026

Bu yazı, EEM322 Denetim Sistemleri dersine hazırlanırken öğrenciler arasında dolaşan eski ara sınavları ve çözümlerini bir araya getiriyor. Sınavlar Hacettepe Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü'nün ELE 354 Control Theory I / Control Systems dersine ait: 13.05.1993, 24.03.1999 ve 13.04.2000 tarihli üç ara sınav. 1993 ve 1999 sınavlarının altında "A. Uraz" imzası var; 2000 sınavının çözüm sayfalarının sonunda "Y. Özkazanç" yazıyor. Her sınavın el yazısı çözümü de dosyalar arasındaydı; aşağıda sorularla birlikte metne aktarıldı ve hesaplar tek tek kontrol edildi.

Sayfalar kâğıt fotokopilerin fotoğrafları olduğu için görseller yayınlanmadı; fotoğraflanmış sayfalardan metne aktarıldı. Şekilli sorularda (mekanik sistem, devre, işaret akış grafiği) şeklin anlatımı verildi. Sorular kaynaktaki gibi İngilizce bırakıldı; açıklamalar ve notlar Türkçe.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

1993 ara sınavı (13.05.1993)

ELE 354 Control Theory I – Midterm (2 saat). Her soru 10 puan, toplam 80 puan.

1. Mekanik sistem ve elektriksel benzeri

Write the force equations for the given mechanical system. Find the transfer function between the input f and output x for the considered mechanical system. Obtain the analogous electrical system for velocity-voltage analogy and write the electrical equations.

Şekil: Duvara bağlı K yayı, ardından B₂ sönümleyicisi (ara noktanın yer değiştirmesi y), sonra zeminde B₁ sürtünmesiyle kayan M kütlesi; kütleye f kuvveti uygulanıyor, yer değiştirmesi x.

Çözüm. Kuvvet denklemleri:

f = M d²x/dt² + B₁ dx/dt + B₂ d(x − y)/dt
B₂ d(x − y)/dt = K y

Hız-gerilim (v-v) benzerliğinde: i akım kaynağına paralel C ve R₁, ardından R₂ üzerinden L'ye bağlanan bir devre çıkar (C ≡ M, R₁ ≡ 1/B₁, R₂ ≡ 1/B₂, L ≡ 1/K):

i = C dv_x/dt + v_x/R₁ + (v_x − v_y)/R₂
(v_x − v_y)/R₂ = (1/L)∫v_y dt

Transfer fonksiyonu:

X(s)/F(s) = (B₂s + K) / (s[(Ms + B₁)(B₂s + K) + B₂K])

2. Mason kazanç formülü

Obtain the overall gain between the input R(s) and the output C(s) for the given signal flow graph using the Mason's gain formula.

Grafik: R(s)'den C(s)'ye ana yol üzerinde G₁, G₂, G₃ dalları; bunlara paralel G₄ ve daha dıştan G₅ dalları; G₂ etrafında −H₂, G₁G₂G₃ zinciri etrafında −H₁ geri besleme dalı.

Çözüm.

İleri yollar: P₁ = G₁G₂G₃, P₂ = G₄, P₃ = G₅
Çevrimler: L₁ = −G₁G₂G₃H₁, L₂ = −G₂H₂, L₃ = −G₄H₁
Determinant: Δ = 1 − (L₁ + L₂ + L₃) + L₂L₃
Kofaktörler: Δ₁ = 1, Δ₂ = 1 − L₂, Δ₃ = Δ

C(s)/R(s) = (P₁Δ₁ + P₂Δ₂ + P₃Δ₃)/Δ = [G₁G₂G₃ + G₄(1 + G₂H₂)] / (1 + G₁G₂G₃H₁ + G₂H₂ + G₄H₁ + G₂H₂G₄H₁) + G₅

3. İki tanklı sıvı sistemi

Write the mathematical equations for the given two tank fluid system and obtain the transfer function between the output flow rate Q₂ and input flow rate Q. Draw an analogous electrical system.

Şekil: Q debisiyle beslenen A₁ kesitli üst tank R₁ direncinden Q₁ ile alttaki A₂ kesitli tanka boşalıyor; alt tank R₂ direncinden Q₂ ile boşalıyor (H_i = yükseklik, ρ = 1).

Çözüm. P_i = ρH_i ve C_i = A_i/ρ tanımlarıyla:

Q − Q₁ = C₁ dP₁/dt, P₁/R₁ = Q₁
Q₁ − Q₂ = C₂ dP₂/dt, P₂/R₂ = Q₂

Q₂(s)/Q(s) = 1 / ((1 + R₁C₁s)(1 + R₂C₂s))

Tanklar birbirini yüklemediği için blok diyagram iki birinci derece bloğun art arda bağlanmasıdır: Q → 1/(1 + R₁C₁s) → Q₁ → 1/(1 + R₂C₂s) → Q₂. Elektriksel benzeri: i akım kaynağı C₁ ∥ R₁ devresini besler; R₁'den geçen i₁ akımı ikinci bir C₂ ∥ R₂ devresine kaynak olur.

4. Devre için durum uzayı modeli

By defining suitable state variables obtain a SSD for the given circuit. You may take the voltage drop across C as the output.

Devre: i akım kaynağı ve ona paralel R₁ (düğüm gerilimi v₁); v₁ düğümünden L bobini (akımı i₁) v₂ düğümüne gider; v₂ düğümünde toprağa C kondansatörü, ayrıca R₂ üzerinden v gerilim kaynağı.

Çözüm. Dinamik denklemler: i = v₁/R₁ + (1/L)∫(v₁ − v₂)dt ve (1/L)∫(v₁ − v₂)dt = C dv₂/dt + (v₂ − v)/R₂. Durum değişkenleri x₁ = i₁ (bobin akımı), x₂ = v₂ (kondansatör gerilimi) seçilince v₁ = R₁i − R₁x₁ olur ve:

ẋ₁ = (1/L)(v₁ − v₂) = (1/L)(R₁i − R₁x₁ − x₂)
ẋ₂ = (1/C)x₁ − x₂/(R₂C) + v/(R₂C)

ẋ = [−R₁/L −1/L; 1/C −1/(R₂C)] x + [R₁/L 0; 0 1/(R₂C)] [i; v], y = [0 1] x

5. Kaskad ayrıştırma

Consider a system described by the transfer function G(s) = 3(s + 5)/(s(s + 1)(s + 2)). Obtain a SSD for G(s) using the cascade decomposition scheme.

Çözüm. G(s) = 3 · (1/s) · (1/(s + 1)) · ((s + 5)/(s + 2)) çarpanlarına ayrılıp her biri art arda bağlanır:

ẋ₃ = 3u
ẋ₂ = x₃ − x₂
ẋ₁ = x₂ − 2x₁, y = ẋ₁ + 5x₁ = 3x₁ + x₂

ẋ = [−2 1 0; 0 −1 1; 0 0 0] x + [0; 0; 3] u, y = [3 1 0] x

6. Sıfır girişli, sıfır durumlu ve toplam yanıt

The dynamic equations of a linear time-invariant system is given as ẋ = [1 2; −3 −4] x + [2; −3] u, y = [1 0] x. Obtain the zero-input response for x(0) = [1 −1]ᵀ, the zero-state response for a unit-step input and the total output response y(t).

Çözüm. Rezolvent matris: (sI − A)⁻¹ = (1/Δ(s)) [s+4 2; −3 s−1], Δ(s) = (s + 1)(s + 2). Laplace bölgesinde X(s) = (sI − A)⁻¹x(0) + (sI − A)⁻¹BU(s).

Sıfır girişli yanıt: X(s) = (1/Δ)[s + 2; −(s + 2)] → x(t) = [e⁻ᵗ; −e⁻ᵗ]
Sıfır durumlu yanıt (U = 1/s): X(s) = (1/(s(s + 2)))[2; −3] → x(t) = [1 − e⁻²ᵗ; −3/2 + (3/2)e⁻²ᵗ]
Toplam çıkış: y(t) = 1 + e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ

7–8. İkinci derece sistem ve hata sabitleri

7. Consider a unity feedback system with the feedforward transfer function G(s) = 25/(s(s + 5)). Determine the undamped natural frequency, damping ratio, rise time, percent overshoot (PO), peak time and settling time for 2% t.b. for the unit step cl response.

8. For the feedback system given in Q7, find the error constants and the steady-state error e_ss for unit step, unit ramp and parabolic inputs. What is the system type?

Çözüm 7. T(s) = 25/(s² + 5s + 25) → ωₙ = 5 rad/s, ζ = 0.5.

Yükselme zamanı: T_r = (π − θ)/(ωₙ√(1 − ζ²)) = 0.48 s (θ = cos⁻¹ζ = π/3)
Tepe zamanı: T_p = π/(ωₙ√(1 − ζ²)) = 0.73 s
Yerleşme zamanı (%2): T_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1.6 s
Yüzde aşım: PO = 100·e^(−π/√3) = %16.3

Çözüm 8. K_p = G(0) = ∞, K_v = lim s·G(s) = 5, K_a = lim s²·G(s) = 0. Birim basamakta e_ss = 0, birim rampada e_ss = 1/K_v = 0.2, parabolik girişte e_ss = ∞. Sistem tip 1.

1999 ara sınavı (24.03.1999)

ELE 354 Control Systems – Midterm-I (2.5 saat). Her soru 10 puan.

1. İki kütleli mekanik sistem

Write the force equations for the given mechanical system. Obtain the analogous electrical systems for velocity-voltage (v-v) and force-voltage (f-v) analogies.

Şekil: f kuvvetiyle çekilen M₁ kütlesi (x) duvara B₂ sönümleyicisiyle bağlı; M₁, B₁ sönümleyicisiyle M₂ kütlesine (y), M₂ de K yayıyla duvara bağlı.

Çözüm. Hızlarla (v_x, v_y) yazılan dinamik denklemler:

f = M₁ dv_x/dt + B₂v_x + B₁(v_x − v_y)
B₁(v_x − v_y) = M₂ dv_y/dt + K∫v_y dt

Hız-gerilim (v-v) benzerliğinde: C ≡ M, R ≡ 1/B, L ≡ 1/K; akım kaynağı i ≡ f, düğüm gerilimleri v_x ve v_y. Kuvvet-gerilim (f-v) benzerliğinde: L ≡ M, R ≡ B, C ≡ 1/K; gerilim kaynağı v ≡ f, iki çevre akımı i_x ve i_y.

2. Manivela sistemi

Consider the lever system with the applied force f and the displacement x zero at the reference position as shown. Write the mathematical relations that describe the dynamics of the system and obtain the transfer function between the input f and output x. Draw v-v and f-v electrical analogue circuits.

Şekil: Kolları a ve b olan manivelanın a ucuna f uygulanıyor; b ucu yukarıdan K yayıyla, aşağıdan B sönümleyicisiyle sabit noktalara bağlı (yer değiştirme x).

Çözüm. Dayanak noktasına göre moment dengesi f·a = f₁·b (f₁: b ucuna iletilen kuvvet) ve f₁ = Kx + B dx/dt. Buradan:

X(s)/F(s) = (a/b)/(Bs + K)

Blok diyagram: F(s) → a/b → F₁(s) → 1/(Bs + K) → X(s). Elektriksel benzerlerde manivela, sarım oranı kol oranından gelen ideal bir transformatörle gösterilmiş.

3. Üç tanklı sıvı sistemi

Write only the mathematical equations for the given three tank fluid system and draw an analogous electrical system.

Şekil: Yan yana üç tank; Q_i debisi ortadaki (2.) tanka giriyor; 1. tank R₁, 3. tank R₂ üzerinden 2. tanka bağlı; 3. tank R₃'ten Q₀ ile boşalıyor.

Çözüm.

Q_i = (P₂ − P₁)/R₁ + (P₂ − P₃)/R₂ + C₂ dP₂/dt
(P₂ − P₁)/R₁ = C₁ dP₁/dt
(P₂ − P₃)/R₂ = C₃ dP₃/dt + P₃/R₃
Q₀ = P₃/R₃

Elektriksel benzeri: akım kaynağı v₂ düğümünü besler; bu düğümde C₂ ve R₁ üzerinden C₁ var; R₂ üzerinden v₃ düğümüne geçilir, orada C₃ ve R₃ toprağa bağlıdır.

4. Mason kazanç formülü

Obtain the overall gain between the input R(s) and the output C(s) for the given signal flow graph using the Mason's gain formula.

Grafik: İç içe üç yol: en içte G₁, onu saran G₂ ve en dışta G₃ ileri dalları; bunlara karşılık −H₁, −H₂, −H₃ geri besleme dalları.

Çözüm.

İleri yollar: P₁ = G₁, P₂ = G₂, P₃ = G₃
Çevrimler: L₁ = −G₁H₁, L₂ = −G₂H₂, L₃ = −G₃H₃, L₄ = −G₁H₂, L₅ = −G₁H₃, L₆ = −G₂H₃
Birbirine değmeyen çevrimler: (L₁, L₂), (L₁, L₃), (L₂, L₃), (L₁, L₆), (L₃, L₄) ve (L₁, L₂, L₃)
Δ = 1 − (L₁ + … + L₆) + L₁L₂ + L₁L₃ + L₂L₃ + L₁L₆ + L₃L₄ − L₁L₂L₃
Kofaktörler: Δ₁ = 1, Δ₂ = 1 − L₁, Δ₃ = 1 − L₁ − L₂ − L₄ + L₁L₂

C(s)/R(s) = (P₁Δ₁ + P₂Δ₂ + P₃Δ₃)/Δ

Pay: G₁ + G₂ + G₂G₁H₁ + G₃ + G₃G₁H₁ + G₃G₂H₂ + G₃G₁H₂ + G₃G₁H₁G₂H₂

Payda: 1 + G₁H₁ + G₂H₂ + G₃H₃ + G₁H₂ + G₁H₃ + G₂H₃ + G₁H₁G₂H₂ + G₁H₁G₃H₃ + G₂H₂G₃H₃ + G₁H₁G₂H₃ + G₃H₃G₁H₂ + G₁H₁G₂H₂G₃H₃

5. Kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik

The dynamic equations of a linear time-invariant system is given as ẋ = [−4 3; −2 1] x + [1; 0] u, y = [1 −1] x. Determine whether the system is controllable and/or observable? Obtain the transfer function and comment on your findings in relation to c/o.

Çözüm.

U = [B AB] = [1 −4; 0 −2], |U| ≠ 0 → (A, B) kontrol edilebilir
V = [C; CA] = [1 −1; −2 2], |V| = 0 → (A, C) gözlenemez
G(s) = C(sI − A)⁻¹B = [1 −1] · (1/((s + 1)(s + 2))) · [s−1 3; −2 s+4] · [1; 0] = (s + 1)/((s + 1)(s + 2)) = 1/(s + 2)

Sistem gözlenemez olduğu için, beklendiği gibi transfer fonksiyonunda kutup-sıfır sadeleşmesi olur.

6. Eşlik biçimi ve geçiş matrisi

If possible transform the dynamic equations given in Q.5 into the companion canonical form. Obtain the state transition matrix for the transformed matrix A.

Çözüm. (A, B) kontrol edilebilir olduğundan dönüşüm mümkündür.

U⁻¹ = (1/−2)[−2 4; 0 1] = [1 −2; 0 −1/2], q = [0 1]U⁻¹ = [0 −1/2]
Q = [q; qA] = [0 −1/2; 1 −1/2], Q⁻¹ = [−1 1; −2 0]
w = Qx ile ẇ = QAQ⁻¹w + QBu = [0 1; −2 −3] w + [0; 1] u, y = CQ⁻¹w = [1 1] w

Geçiş matrisi:

e^(A_c t) = L⁻¹[(sI − A_c)⁻¹] = L⁻¹{(1/((s + 1)(s + 2))) [s+3 1; −2 s]} = [2e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ, e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ; −2e⁻ᵗ + 2e⁻²ᵗ, −e⁻ᵗ + 2e⁻²ᵗ]

7. Kaskad ayrıştırma

Consider a system described by the transfer function G(s) = (2s + 6)/(s³ + 6s² + 8s). Obtain a SSD for G(s) using the cascade decomposition scheme.

Çözüm. G(s) = 2(s + 3)/(s(s + 2)(s + 4)) = (2/s) · (1/(s + 2)) · ((s + 3)/(s + 4)):

ẋ₃ = 2u, ẋ₂ = x₃ − 2x₂, ẋ₁ = x₂ − 4x₁
y = ẋ₁ + 3x₁ = −x₁ + x₂

ẋ = [−4 1 0; 0 −2 1; 0 0 0] x + [0; 0; 2] u, y = [−1 1 0] x

8. Geri besleme parametrelerinin tasarımı

Consider a closed loop system with a feedforward transfer function G(s) = 10/s² and a feedback transfer function H(s) = (as + b). For a unit step input, find the values of a and b that give 16% percent overshoot (PO) and 0.4 sec. settling time (2% t.b.).

Çözüm. T(s) = G/(1 + GH) = 10/(s² + 10as + 10b).

T_s = 4/(ζωₙ) = 0.4 s → ζωₙ = 10 → 2ζωₙ = 10a = 20 → a = 2
PO = %16: ln 0.16 = −ζπ/√(1 − ζ²) = −1.83 → ζ²/(1 − ζ²) = (0.583)² = 0.34 → ζ ≈ 0.5 → ωₙ = 20 rad/s
ωₙ² = 10b = 400 → b = 40

2000 ara sınavı (13.04.2000)

Hacettepe University, ELE 354 Control Systems – 1. Midterm Exam, April 13, 2000.

1. Mekanik sistemin diferansiyel denklemleri

Obtain the differential equations describing the following system. Draw an analogous electrical circuit based on force-current analogy.

Şekil: Sol duvara K₁ yayıyla bağlı m₁ kütlesi (x₁, sağa), K₂ yayıyla m₂ kütlesine (x₂, sola) bağlı; m₂ de b sönümleyicisiyle sağ duvara bağlı; F kuvveti m₁'e uygulanıyor.

Çözüm.

m₁ẍ₁ = −F − K₁x₁ − K₂(x₂ + x₁)
−m₂ẍ₂ = K₂(x₁ + x₂) + bẋ₂

Kuvvet-akım benzerliğinde i = F akım kaynağı; L₁ = 1/K₁, C₁ = m₁ (gerilim v₁ = ẋ₁), L₂ = 1/K₂, C₂ = m₂ ve R = 1/b (gerilim v₂ = −ẋ₂).

2. Su seviyesi kontrolü

The water level, h(t), is controlled by an open loop control system. A dc motor controlled by armature current i turns a shaft, opening a valve. The inductance of the dc motor is neglected. The height of the water in the tank is given by h(t) = ∫(1.6θ(t) − h(t))dt. The motor constant is K_m = 10, and the inertia of the motor shaft and valve is J = 6 × 10⁻³ kg·m². Determine the transfer function from the motor voltage, v(t), to the water level, h(t).

Şekil: v(t), kazancı K_a = 50 olan yükseltece girer; yükselteç 10 Ω üzerinden motoru i akımıyla sürer; motor mili vanayı θ(t) kadar açar (vana açıklığı = mil konumu) ve tankın seviyesi h(t) değişir.

Çözüm.

h(t) = ∫(1.6θ − h)dt → H(s) = 1.6Θ(s)/(s + 1)
ω = θ̇ → Ω(s) = sΘ(s), dolayısıyla H(s) = 1.6Ω(s)/(s(s + 1))
J dω/dt = K_m i → 6 × 10⁻³ sΩ(s) = 10 I(s)
50v = Ri + Kω = 10i + 10ω → 50V(s) = (6 × 10⁻³ s + 10)Ω(s)

H(s)/V(s) = 80 / (s(s + 1)(6 × 10⁻³ s + 10))

3. Mason kazanç formülü

Determine the transfer function from R to C by using Mason's Gain Formula.

Grafik: R → 1 → K → G₁ → G₂ → G₃ → 1 → C; G₂ çevresinde −H₂, G₁G₂ çevresinde −H₃, G₂G₃ çevresinde −H₄, G₁G₂G₃ çevresinde −H₁ dalları ve çıkıştan K'nın girişine −1 dalı.

Çözüm. L₁ = −G₂H₂, L₂ = −H₁G₁G₂G₃, L₃ = −KG₁G₂G₃, L₄ = −G₁G₂H₃, L₅ = −H₄G₂G₃; tek ileri yol P₁ = KG₁G₂G₃. Bütün çevrimler birbirine değer, Δ₁ = 1:

T = KG₁G₂G₃ / (1 + G₂H₂ + H₁G₁G₂G₃ + KG₁G₂G₃ + G₁G₂H₃ + H₄G₂G₃)

4. Köprülü T süzgeci

Determine the transfer function for the following filter.

Devre: Giriş ve çıkış arasında seri iki C kondansatörü, aralarındaki düğümden toprağa R₁; iki kondansatörün üzerinden köprüleyen R₂.

Çözüm. Çevre akımları yöntemiyle:

H(s) = (1 + 2R₁Cs + R₁R₂C²s²) / (1 + (2R₁ + R₂)Cs + R₁R₂C²s²)

5. Durum değişkeni olarak v ve i

Develop a state space model for the following system by taking v and i as your state variables. Determine the eigenvalues and eigenvectors of your model.

Devre: 1 F'lık kondansatör (v_C1), 1 Ω direnç üzerinden (gerilimi v) 0.5 Ω direnç (akımı i) ile 2 F'lık kondansatörün (v_C2) paralel bağlandığı düğüme bağlı.

Çözüm. Önce kondansatör gerilimleriyle: C₁ dv_C1/dt = (v_C2 − v_C1)/1 ve C₂ dv_C2/dt = (v_C1 − v_C2)/1 − v_C2/0.5:

ẋ = [−1 1; 0.5 −1.5] x

v = v_C1 − v_C2 ve i = 2v_C2 olduğundan z = [v; i] = Mx, M = [1 −1; 0 2]; ż = MAM⁻¹z:

d/dt [v; i] = [−1.5 0.5; 1 −1] [v; i]

Özdeğerler: det(sI − MAM⁻¹) = s² + 2.5s + 1 = 0 → s₁ = −0.5, s₂ = −2
Özvektörler: z₁ = [−1; −2], z₂ = [−1; 1]

6. Geçiş matrisi ve dürtü yanıtı

Determine the state transition matrix of the following system. If the input, r(t), is a unit impulse and x₁(0) = 1, x₂(0) = 1; determine x₁(t) for t > 0. ẋ = [−2 −1; 2 −5] x + [0; 1] r(t).

Çözüm.

e^(At) = L⁻¹[(sI − A)⁻¹] = [2e⁻³ᵗ − e⁻⁴ᵗ, e⁻⁴ᵗ − e⁻³ᵗ; 2e⁻³ᵗ − 2e⁻⁴ᵗ, 2e⁻⁴ᵗ − e⁻³ᵗ]

x(t) = e^(At)x₀ + ∫₀ᵗ e^(A(t−τ))Br(τ)dτ, x₀ = [1; 1], r(t) = δ(t). Kaynakta sonuç x₁(t) = 2e⁻³ᵗ − e⁻⁴ᵗ olarak verilmiş.

Not: Bu sonuç hatalı; yalnızca geçiş matrisinin (1,1) elemanıdır. Dürtü girişiyle X(s) = (sI − A)⁻¹(x₀ + B) = (sI − A)⁻¹[1; 2] olur ve X₁(s) = ((s + 5) − 2)/((s + 3)(s + 4)) = 1/(s + 4) çıkar. Doğrusu x₁(t) = e⁻⁴ᵗ'dir: sıfır girişli kısım e⁻³ᵗ, dürtü yanıtı e⁻⁴ᵗ − e⁻³ᵗ verir.

7. Blok diyagramdan eşlik biçimi

Develop a state space model for the following system. Put your state space model in companion form.

Blok diyagram: u → toplama (−y) → s → toplama (iç geri besleme) → 1/(2s + 20) → 1/(s + 5) → 1/s → y; iç döngü 1/(s + 5) çıkışından geri beslenir.

Çözüm. İç döngü 1/((2s + 20)(s + 5) + 1) = 1/(2s² + 30s + 101) olur; s ve 1/s birbirini götürür:

H(s) = Y(s)/U(s) = 0.5/(s² + 15s + 51)

Eşlik biçimi: ẋ = [0 1; −51 −15] x + [0; 1] u, y = [0.5 0] x

8. Kontrol edilemeyen devre

Develop a state space model for the following circuit. Determine the capacitance, C, such that your model is not controllable.

Devre: v(t) gerilim kaynağına paralel iki kol: 2 Ω ile seri 0.5 F (v_C1) ve C ile seri 8 Ω (v_C2).

Çözüm.

0.5 dv_C1/dt = (v − v_C1)/2 → v̇_C1 = −v_C1 + v
C dv_C2/dt = (v − v_C2)/8 → v̇_C2 = −v_C2/(8C) + v/(8C)

A = [−1 0; 0 −1/(8C)], B = [1; 1/(8C)]. Kontrol edilebilirlik matrisi [B AB] = [1 −1; 1/(8C) −1/(64C²)]; determinantı −1/(64C²) + 1/(8C) sıfır olduğunda matris tekil olur:

C = 1/8 F → model kontrol edilemez. (Bu değerde iki kolun zaman sabiti eşitlenir: 2 Ω × 0.5 F = 8 Ω × 1/8 F = 1 s.)