MAT222 Diferansiyel Denklemler: 2002–2003 Ara Sınavlar ve Final (Başkent Üniversitesi)

Bu yazı, Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi MAT222 Diferansiyel Denklemler dersinin 2002–2003 dönemindeki iki ara sınavını ve finalini bir araya getiriyor. Sorular ve denklemler sayfa görsellerinden metne aktarıldı; belgelerde çözüm anahtarı bulunmuyor. Word belgelerinden çevrilen üç PDF, yazının sonunda tek ZIP olarak indirilebilir.

Not: PDF'lerdeki gömülü denklemler sayfa görsellerinde okunuyor; otomatik metin dökümünde görünmeyen ifadeler görsellerden aktarıldı. İlk iki sınavın ikinci sayfasında yalnız “Başarılar!” yazısı bulunuyor. Finalin ikinci sayfası soruların devamını içeriyor. Arşiv kaydının tarihi, gruptaki son sınavın tarihi olan 14 Ocak 2003'tür.

Birinci ara sınav — 19 Kasım 2002

Soru 1 — 4 puan

Diferansiyel denklemin tüm çözümlerini bulunuz:

x² dy/dx + xy = y³/x

Soru 2 — 4 puan

Başlangıç değer problemini çözünüz:

x dy/dx − y = x tan(y/x), y(1) = π/6

Soru 3 — 3,5 puan

Başlangıç değer probleminin çözümünü açık fonksiyon biçiminde bulunuz:

xy dx + (x + 1) dy = 0, y(0) = e

Soru 4 — 4 puan

Diferansiyel denklemin tüm çözümlerini bulunuz:

(y − x) dx + x(2y² − xy + 1) dy = 0

Soru 5 — 4,5 puan

Diferansiyel denklemin tüm çözümlerini açık fonksiyon biçiminde bulunuz:

y = x + 2y′ − ln((y′)²)

Dikkat: Kaynaktaki y′² gösterimi (y′)² anlamındadır.

İkinci ara sınav — 24 Aralık 2002

Soru 1 — 4 puan

Aşağıdaki fonksiyonlar lineer bağımlı mı? Yanıtınızı kanıtlayınız.

• a) x⁴, x²e^(2x), e^(4x)
• b) 2^(4x+1), 3^(3x+2), 4^(2x+3), 5^(x+4)

Soru 2 — 5 puan

Başlangıç değer problemini çözünüz. Çözümün doğruluğunu kontrol ediniz.

y‴ + 7y″ + 8y′ − 16y = 0

y(0) = −1, y′(0) = 1, y″(0) = −17

Soru 3 — 5 puan

Aşağıdaki fonksiyon bir sabit reel katsayılı homojen lineer diferansiyel denklemin (SKHLDD) çözümü olabilir mi? Eğer yanıtınız “evet” ise, mertebesi en küçük olan böyle bir SKHLDD'yi diferansiyel operatör yardımıyla yazınız:

y = 4x sin(x)e^(−2x) + (3x² − 5)e^(2x) + 7 − 2sin²(x)

Soru 4 — 6 puan

Belirsiz katsayılar yöntemi ile aşağıdaki denklemin genel çözümünü bulunuz:

y″ − 2y′ + 2y = 2sin(x)e^x

Final sınavı — 14 Ocak 2003

Soru 1 — 5 puan

Diferansiyel denklemin tüm çözümlerini açık fonksiyon biçiminde bulunuz:

y |ln y − ln x| dx − x dy = 0

Soru 2 — 5 puan

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz:

(1 + y² sin(2x)) dx − 2y cos²(x) dy = 0

Soru 3 — 6 puan

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz:

y″ + 2y′ + y = 15e^(−x)√(x + 1)

Soru 4 — 6 puan

Diferansiyel denklemi x₀ = 0 noktası civarında kuvvet serileriyle çözünüz:

(2x² + 1)y″ − 4y = 0

Soru 5 — 6 puan

Diferansiyel denklemler sistemini çözünüz. Çözümü açık biçimde yazınız.

• dy/dt = 4y − z
• dz/dt = 5y + 2z

Soru 6 — 7 puan

Aşağıdaki soruları kanıtlayarak cevaplayınız.

6.1. Diferansiyel operatörlerin çarpımını bulunuz:

(D + x)(D − x)

6.2. Aşağıdaki başlangıç değer problemi için çözümün varlığı ve tekliği teoremi geçerli midir?

(x − 2)y′ = √y − x, y(0) = 1

6.3. Denklemlerin tiplerini aşağıdaki seçenekler üzerinden belirleyiniz:

1. (2y cos x + sin⁴ x) dx = sin x dy
2. y′ = 2((y + 2)/(x + y − 1))²
3. dy − 10^(x−y) dx = 0
4. y′ = (x/y)e^(2x) + y

Seçenekler:

• a) Bernoulli denklemi
• b) Homojen denklem
• c) Lineer denklem
• d) Değişkenlerine ayrılabilen denklem
• e) Homojen denkleme dönüşebilen denklem

6.4. Aşağıdaki lineer diferansiyel denklemin özel çözümünün biçimini belirsiz katsayıların yardımıyla gösteriniz. Denklemin çözülmesine ve belirsiz katsayıların bulunmasına gerek yoktur.

y‴ − 4y″ + 3y′ = x² + xe^(2x)

6.5. X(t) = (t, t)ᵀ ve Y(t) = (t², t²)ᵀ fonksiyon vektörleri (0, 1) aralığında lineer bağımlı mı?