MAT222 Diferansiyel Denklemler: 11 Ocak 2007 Final Soruları (Kurum doğrulanamadı)

Bu yazı, 11 Ocak 2007 tarihli bir “Diferansiyel Denklemler” final kâğıdının fotoğraflanmış sayfalarından metne aktarıldı. Üstte “Mühendislik Fakültesi, Elektrik Mühendisliği Bölümü” okunuyor; üniversite adı kadrajda yok. Öğretim elemanının adının tamamı da görünmüyor. Öğrenci adı ve numarası aktarılmadı. Fotoğraflar özel arşivdedir; bu yazıda fotoğraf veya indirilebilir dosya bulunmuyor.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

Diferansiyel denklemler

1. y = C₁ cos(ωx) + C₂ sin(ωx) fonksiyonunun y″ + ω²y = 0 denkleminin çözümü olduğunu gösteriniz.
2. xy dx + (1 + x)(1 − x) dy = 0 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
3. y⁽⁵⁾ − y⁽⁴⁾ + 2y‴ − 2y″ + y′ − y = 0 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
4. eˣ, −sin x ve cos x fonksiyonlarının lineer bağımlı olup olmadığını inceleyiniz.
5. (2x/y³) dx + [(y² − 3x²)/y⁴] dy = 0 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
6. xy″ + y′ = x² denkleminin genel çözümünü bulunuz.

İntegrasyon çarpanı sorusu

Yedinci satırda yalnız “İntegral çarpanı µ = µ(x² + y²) şeklinde bulunuz” okunuyor. Bu yönergeye ait diferansiyel denklem fotoğraflarda görünmüyor.

Not: Yedinci sorunun hangi denkleme uygulandığı belirsizdir; önceki soruya bağlanmadı ve eksik denklem tahmin edilmedi.

Laplace dönüşümü soruları

Sekizinci soru: f(t) = e^((α + 1)t) sin(βt) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.

Dokuzuncu soru: y″ − 5y′ + 6y = 1, y(0) = 1, y′(0) = 0 koşullarını sağlayan çözümü Laplace dönüşümüyle bulunuz.

Son sorunun görünen bölümü

Onuncu soruda (ax + b)ⁿy⁽ⁿ⁾ + p₁(ax + b)ⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾ + p₂(ax + b)ⁿ⁻²y⁽ⁿ⁻²⁾ + … biçimindeki denklemler ve “denklemlerin çözümü” ifadesi okunuyor. Sağ kenar kesik olduğu için son terimler ve yönergenin tamamı aktarılmadı.

Aktarım kontrolü

Fotoğraflarda çözüm anahtarı yok. Okunan ifadeleri kontrol etmek için şu hesaplar yapıldı:

• Birinci soruda y″ = −ω²y.
• Üçüncü sorunun karakteristik polinomu (r − 1)(r² + 1)² olarak çarpanlara ayrılır.
• Dördüncü sorudaki fonksiyonların Wronskiyeni 2eˣ'tir; sıfır olmadığı için lineer bağımsızdırlar.
• Beşinci sorunun sol tarafı d(x²/y³ − 1/y)'dir, y ≠ 0.
• Altıncı soruda (xy′)′ = x²; x ≠ 0 aralıklarında y = x³/9 + C₁ ln|x| + C₂.
• Sekizinci sorunun dönüşümü β/[(s − α − 1)² + β²], yeterli yakınsaklık koşulu s > α + 1'dir.
• Dokuzuncu soruda y = 1/6 + (5/2)e²ˣ − (5/3)e³ˣ hem denklemi hem başlangıç koşullarını sağlar.

Bu sonuçlar kaynakta yazılı çözümler değil, metin aktarımı sırasında yapılan kontrollerdir.