MAT222 Diferansiyel Denklemler: Laplace Dönüşümü (Ufuk Özerman, kurum belirtilmemiş)

Bu yazı, Ufuk Özerman imzalı 29 Kasım 2006 tarihli “Laplace Dönüşümü” notunun konularını, temel bağıntılarını ve örnek sonuçlarını metne aktarıyor. Belge 106–117 numaralı 12 sayfadan oluşuyor. Kurum adı yazmıyor; saklandığı ege_notlari klasörünün adı tek başına Ege Üniversitesi kaynaklığı göstermiyor. Orijinal PDF yazının sonunda indirilebilir.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

İntegral dönüşümü ve yakınsaklık

Bir integral dönüşümü F(s) = ∫_α^β K(s,t)f(t)dt biçimindedir. K çekirdektir. Laplace dönüşümünde K(s,t) = e⁻ˢᵗ ve sınırlar 0 ile ∞ olur:

L{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ e⁻ˢᵗf(t)dt.

Bu bir genelleştirilmiş integraldir: ∫ₐ^∞ f(t)dt = lim_(A→∞) ∫ₐᴬ f(t)dt. Örneğin ∫₀^∞ eᶜᵗdt, c < 0 için yakınsak; c ≥ 0 için ıraksaktır. Parçalı sürekli fonksiyonlar için karşılaştırma testi kullanılabilir: |f| ≤ g ve g'nin integrali yakınsaksa f'ninki mutlak yakınsaktır.

Kaynağın varlık teoreminde, her sonlu aralıkta parçalı süreklilik ve büyük t için |f(t)| ≤ Keᵃᵗ koşulları verildikten sonra dönüşümün “s > 0 için” var olduğu yazılmış.

Not: Üstel büyüme sınırı Keᵃᵗ ise yeterli koşul s > a'dır. s > 0 koşulu genel bir a için yeterli değildir.

Temel dönüşümler

Polinomlar ve trigonometrik fonksiyonlar için s > 0, eᵃᵗ için s > a, hiperbolik fonksiyonlarda gerçek a için s > |a| yeterlidir. Dönüşüm lineerdir: L{c₁f₁ + c₂f₂} = c₁F₁ + c₂F₂.

Türevlerin dönüşümü

• L{y′} = sY(s) − y(0).
• L{y″} = s²Y(s) − sy(0) − y′(0).
• L{y⁽ⁿ⁾} = sⁿY(s) − sⁿ⁻¹y(0) − … − y⁽ⁿ⁻¹⁾(0).

Uygulama sırası: denklemin dönüşümünü al, başlangıç koşullarını yerleştir, Y(s)'yi yalnız bırak, basit kesirlere ayır ve ters dönüşüm uygula.

Örnek: y″ + y = sin 2t, y(0) = 2, y′(0) = 1.

(s² + 1)Y = 2s + 1 + 2/(s² + 4).

Y = 2s/(s² + 1) + (5/3)/(s² + 1) − (2/3)/(s² + 4).

y(t) = 2 cos t + (5/3)sin t − (1/3)sin 2t.

Sonuç hem denklemi hem başlangıç koşullarını sağlıyor.

Basamak fonksiyonu ve öteleme

u_c(t), t < c için 0; t ≥ c için 1'dir. c ≥ 0 için L{u_c} = e⁻ᶜˢ/s.

• L{u_c(t)f(t − c)} = e⁻ᶜˢF(s).
• L{eᶜᵗf(t)} = F(s − c).

Örnek: f(t) = sin t + u_(π/4)(t)cos(t − π/4) için F(s) = [1 + se^(−πs/4)]/(s² + 1).

Örnek: (1 − e⁻²ˢ)/s² ifadesinin ters dönüşümü t − u₂(t)(t − 2)'dir. Bu fonksiyon 0 ≤ t < 2 için t, t ≥ 2 için 2'dir.

Örnek: 1/(s² − 4s + 5) = 1/[(s − 2)² + 1] ifadesinin ters dönüşümü e²ᵗ sin t'dir.

Süreksiz kuvvet

2y″ + y′ + 2y = u₅(t) − u₂₀(t), y(0) = y′(0) = 0.

Y(s) = (e⁻⁵ˢ − e⁻²⁰ˢ)H(s), H(s) = 1/[s(2s² + s + 2)].

H(s) = 1/(2s) − (s + 1/2)/(2s² + s + 2).

Buna göre y(t) = u₅(t)h(t − 5) − u₂₀(t)h(t − 20). Kaynaktaki ters dönüşüm:

h(t) = 1/2 − (1/2)e^(−t/4)[cos(√15·t/4) + (1/√15)sin(√15·t/4)].

Dürtü fonksiyonları

Dirac delta için t₀ > 0 olduğunda L{δ(t − t₀)} = e⁻ˢᵗ⁰.

Kaynak g(t) = 2δ(t − 7) + 5δ(t + 3) örneği için 2e⁻⁷ˢ + 5e³ˢ yazıyor; ara satırda ayrıca δ(t + 2) geçiyor.

Not: Bu notta tanımlanan tek taraflı Laplace dönüşümünde t = −3'teki dürtü integral aralığı dışındadır. Verilen g için dönüşüm 2e⁻⁷ˢ olur. e³ˢ terimi iki taraflı dönüşümle ilgilidir; δ(t + 2) ara satırı da başlangıçtaki ifadeyle tutarsızdır.

Örnek: y″ + y′ + y = δ(t − 2), y(0) = y′(0) = 0 için Y(s) = e⁻²ˢ/(s² + s + 1).

Tam kareye tamamlama s² + s + 1 = (s + 1/2)² + 3/4 verir.

Kaynakta verilen dürtü cevabı, kökler sadeleştirildiğinde y(t) = u₂(t)(2/√3)e^(−(t−2)/2)sin[√3(t − 2)/2] olur.

Ödev olarak 2y″ + y′ + 2y = δ(t − 5), y(0) = y′(0) = 0 verilmiş.

Konvolüsyon

(f ∗ g)(t) = ∫₀ᵗ f(t − τ)g(τ)dτ = ∫₀ᵗ f(τ)g(t − τ)dτ.

L{f ∗ g} = F(s)G(s).

Not: Kaynaktaki giriş cümlesi F(s)G(s)'yi f ve g'nin “çarpımının” dönüşümü diye tanımlıyor. Burada kastedilen noktasal çarpım değil, konvolüsyondur; hemen sonraki integral tanımı doğrudur.

• f(t) = cos t için (f ∗ 1)(t) = sin t; sonuç f(t)'ye eşit değildir.
• L⁻¹{a/[s²(s² + a²)]} = ∫₀ᵗ (t − τ)sin(aτ)dτ = (at − sin at)/a².
• Kaynak, L⁻¹{1/[s(s² + 16)]} = (1 − cos 4t)/4 yazıyor.

Not: Son integralde ikinci bir 1/4 çarpanı eksik. ∫₀ᵗ (1/4)sin(4τ)dτ = (1 − cos 4t)/16 olmalıdır.

Son örnek, genel bir g(t) ile y″ + 4y = g(t), y(0) = 3, y′(0) = −1 problemidir:

y(t) = 3 cos 2t − (1/2)sin 2t + (1/2)∫₀ᵗ sin[2(t − τ)]g(τ)dτ.