MAT222 Diferansiyel Denklemler: 2005 Finali ve Çözümleri (Marmara Üniversitesi, Faruk Uçar)

Bu yazı, Marmara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü MAT232 Diferansiyel Denklemler II dersinin 7 Haziran 2005 final sorularını ve çözümlerini içeriyor. PDF üst verisindeki yazar Faruk Uçar'dır. Başkent MAT222 arşivinde saklanan bu iki dosyanın orijinalleri yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

Ortak soru 1: Bessel integrali

Jₚ, p. mertebeden birinci tür Bessel fonksiyonu olmak üzere d[tⁿJₙ(t)]/dt = tⁿJₙ₋₁(t) eşitliğini kullanarak şu sonucu ispatlayınız:

∫₀² tJ₀(λt) dt = 2J₁(2λ)/λ.

Çözümde n = 1 alınır. Zincir kuralı d[tJ₁(λt)]/dt = λtJ₀(λt) verir. Sınırlar uygulanınca istenen sonuç bulunur.

Not: Bölme içeren ifade λ ≠ 0 içindir. λ = 0 durumunda integral 2 olur; sağ tarafın λ → 0 limiti de 2'dir.

A grubu soru 2: lineer sistem

x₁′ = x₁ + x₂, x₂′ = 4x₁ − 2x₂ sistemini çözünüz.

Katsayı matrisi A = [[1, 1], [4, −2]]. det A = −6, tr A = −1. Karakteristik denklem λ² + λ − 6 = (λ + 3)(λ − 2) olduğundan özdeğerler −3 ve 2'dir. Birinci denklemden x₂ = x₁′ − x₁ bulunur.

• x₁(t) = K₁e⁻³ᵗ + K₂e²ᵗ
• x₂(t) = −4K₁e⁻³ᵗ + K₂e²ᵗ

B grubu soru 2: lineer sistem

x₁′ = −x₁ + 4x₂, x₂′ = x₁ + 2x₂ sistemini çözünüz.

A = [[−1, 4], [1, 2]], det A = −6, tr A = 1. Karakteristik denklem (λ − 3)(λ + 2) = 0. Kaynakta verilen sonuç:

• x₁(t) = 4K₁e⁻²ᵗ + K₂e³ᵗ
• x₂(t) = −K₁e⁻²ᵗ + K₂e³ᵗ

Not: B grubu çözümünün ara satırında x₂ = ψ′ − ψ yazıyor. Bu sistem için doğru bağıntı x₂ = (ψ′ + ψ)/4'tür. Sonuçta verilen iki çözüm vektörü ise sistemi sağlıyor.

A grubu soru 3: sinüs ve hiperbolik sinüs

L{sin(at)sinh(at)} hesaplanıyor. sinh(at) = (eᵃᵗ − e⁻ᵃᵗ)/2 ve F(s) = a/(s² + a²) kullanılır:

L{sin(at)sinh(at)} = [F(s − a) − F(s + a)]/2 = 2a²s/(s⁴ + 4a⁴).

B grubu soru 3: kosinüs ve hiperbolik kosinüs

L{cos(at)cosh(at)} için F(s) = s/(s² + a²) alınır:

L{cos(at)cosh(at)} = [F(s − a) + F(s + a)]/2.

Kaynakta son satır a(s² + 2a²)/(s⁴ + 4a⁴) olarak yazılmıştır.

Not: Kesirler ortak paydada toplandığında doğru pay s(s² + 2a²) olur. Dolayısıyla sonuç s(s² + 2a²)/(s⁴ + 4a⁴)'tür. Her iki dönüşüm için gerçek a ve s > |a| yeterlidir.

Ortak soru 4: başlangıç değer problemi

y″ − 3y′ + 2y = 4e²ᵗ, y(0) = −3, y′(0) = 5 denklemini Laplace dönüşümüyle çözünüz.

(s² − 3s + 2)Y(s) = 4/(s − 2) + 14 − 3s.

Basit kesirlere ayırma sonucu:

Y(s) = −7/(s − 1) + 4/(s − 2) + 4/(s − 2)².

Ters dönüşüm:

y(t) = −7eᵗ + 4e²ᵗ + 4te²ᵗ.

Bu sonuç denklemi ve iki başlangıç koşulunu sağlar. İki lineer sistemin çözüm vektörleri de türev alınarak kontrol edildi.