MAT222 Diferansiyel Denklemler: Ödev 1 ve 2 (Kurum belirtilmemiş)

Bu yazı, ege_notlari klasöründe saklanan Ödev 1 ve Ödev 2 föylerini bir araya getiriyor. İlk föy 10 Ekim 2000 tarihli; ikinci PDF'in oluşturulma tarihi 30 Ekim 2000. Belgelerde yazar ve üniversite adı yok; klasör adı Ege Üniversitesi aidiyetini doğrulamıyor. Orijinal iki PDF yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

Ödev 1: genel çözümleri bulunuz

1. x(x² − a) + (y² − b)yy′ = 0.
2. e^(x/y)(y − x) dy + y(1 + e^(x/y)) dx = 0.
3. (y + x) dx + (y − x) dy = 0.
4. y′ = (x + y + 4)/(x − y − 6).
5. y′ = sin²(x − y + 1).
6. (x² + y²) dx − 2xy dy = 0.
7. (1 + y²) dx = (√(1 + y²) cos y − xy) dy.
8. y′ − 2xy/(1 + x²) = arctan x.
9. xy′ − 2y = x sin(1/x).
10. xyy′ + y² = x sinh x.

Ödev 1: integrasyon çarpanı soruları

1. P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 denklemi tam ve homojenlik derecesi n ≠ −1 olan homojen bir denklemse, genel çözümün xP + yQ = C biçiminde yazılabildiğini gösteriniz.
2. P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, n. dereceden homojen bir denklemse µ(x,y) = 1/(xP + yQ) biçiminde bir integrasyon çarpanına sahip olduğunu gösteriniz.

Bu ifadelerde çarpanın tanımlı olduğu bölge kullanılmalıdır; xP + yQ = 0 noktalarında bölme yapılamaz.

Ödev 2: yüksek mertebeden denklemler

Aşağıdaki denklemlerin genel çözümlerini bulunuz.

1. y″ + 4y′ + 5y = e⁻²ˣ(1 + cos x).
2. y⁽⁴⁾ − 16y = x² sin 2x + x⁴e²ˣ.
3. y⁽⁴⁾ + 10y″ + 9y = sin x sin 2x.
4. y⁽⁴⁾ + 2y″ + y = x² cos x.
5. y″ − 2 sin(α)y′ + y = 2 cos(α) sin x, α ≠ nπ/2.
6. y‴ − (2a + b)y″ + (a² + 2b)y′ − a²by = eᵃˣ.
7. y″ + 6y′ + 9y = e⁻³ˣ/√(x² + 1).
8. y‴ + 3y″ + 3y′ + y = e⁻ˣ/x³.
9. y‴ + y′ = sec x.
10. x²y″ − y = x/(x + 1).
11. x²y″ − (2a − 1)xy′ + (a² + 1)y = xᵃ ln x cos(ln x).
12. x³y‴ − 5x²y″ + 12xy′ − 12y = 3x² + x.

Ödev 2: bilinen çözümden genel çözüme

Bir özel çözüm verilmiştir; genel çözümü bulunuz.

1. xy″ + 2y′ + xy = 0; y₁ = sin x/x.
2. x²y″ + xy′ + (x² − 1/4)y = 0; y₁ = sin x/√x.

Verilen iki y₁ fonksiyonu, tanımlı oldukları aralıklarda yerine koyularak kontrol edildi. Föylerde çözüm anahtarı bulunmuyor.