MAT222 Diferansiyel Denklemler: Kuvvet Serileri ve Frobenius Çözümleri (Ufuk Özerman, kurum belirtilmemiş)

Bu yazı, Ufuk Özerman imzalı 27 sayfalık “İkinci Derece Denklemlerin Seri Çözümü” notunu ve 12 Aralık 2006 tarihli 10 sayfalık çözüm föyünü bir araya getiriyor. İlk dosya 29 Kasım 2006 tarihli; basılı sayfa numaraları 79–105. Üniversite adı belgelerde yok, bu nedenle Ege Üniversitesi aidiyeti doğrulanmış değildir. Konular, temel bağıntılar ve örnek sonuçları metne aktarıldı; iki orijinal PDF yazının sonunda ZIP olarak indirilebilir.

Bu içerik üçüncü taraf bir kaynağa aittir; arşiv ve nostalji amacıyla kaynak belirtilerek paylaşılmıştır. Hak sahibinin talebi hâlinde kaldırılır.

Kuvvet serisi ve yakınsaklık

y = Σ_(n=0)^∞ aₙ(x − x₀)ⁿ.

Kısmi toplamların limiti varsa seri yakınsaktır. Yakınsaklık yarıçapı ρ için |x − x₀| < ρ bölgesinde mutlak yakınsaklık, |x − x₀| > ρ bölgesinde ıraksaklık vardır. Uç noktalar ayrı incelenir. Yalnız merkezde yakınsaklık durumunda ρ = 0; her x için yakınsaklıkta ρ = ∞.

Oran testinde L = lim |aₙ₊₁/aₙ|·|x − x₀| alınır. L < 1 yakınsaklık, L > 1 ıraksaklık verir; L = 1 karar verdirmez.

• Σ_(n=1)^∞ (−1)ⁿ⁺¹n(x − 2)ⁿ: 1 < x < 3 için yakınsak; iki uçta da genel terim sıfıra gitmediğinden ıraksak.
• Σ (x + 1)ⁿ/(n2ⁿ): −3 < x < 1 içinde mutlak yakınsak; x = −3'te alternatif harmonik seri olarak koşullu yakınsak, x = 1'de ıraksak.

Not: İkinci örneğin ilk yazımında toplam n = 0'dan başlatılmış; paydada n bulunduğu için başlangıç n = 1 olmalıdır. İlk sayfadaki mutlak yakınsaklık tanımında ise mutlak değer işaretleri eksiktir: mutlak yakınsaklık, terimlerin mutlak değerleri toplamının yakınsaklığıdır.

Seri işlemleri ve Taylor açılımı

Ortak yakınsaklık bölgesinde toplama, çıkarma ve çarpma yapılır; bölüm için paydanın sıfır olmaması gerekir. Türevler terim terim alınır:

• y′ = Σ_(n=1)^∞ naₙ(x − x₀)ⁿ⁻¹.
• y″ = Σ_(n=2)^∞ n(n − 1)aₙ(x − x₀)ⁿ⁻².
• İndis kaydırma: Σ_(n=2)^∞ aₙxⁿ = Σ_(n=0)^∞ aₙ₊₂xⁿ⁺².

Sıfır fonksiyonunu veren kuvvet serisinin tüm katsayıları sıfırdır. Bu, diferansiyel denklemden yineleme bağıntısı çıkarmayı sağlar.

Not: Notta Taylor katsayısı f⁽ⁿ⁾(x₀)/n olarak basılmış; doğru payda n!'dir. Kuvvet serisinin iç bölgede terim terim türevlenebilmesi, sıradan bir sürekli fonksiyonun tüm türevlerinin var olduğu anlamına gelmez.

Adi nokta ve tekil nokta

P(x)y″ + Q(x)y′ + R(x)y = 0 için p = Q/P, q = R/P tanımlanır. Polinom katsayılı örneklerde P(x₀) ≠ 0 ise x₀ adi noktadır. Tekil noktada (x − x₀)p(x) ve (x − x₀)²q(x) analitik uzanabiliyorsa nokta düzgün tekildir. Notun rasyonel katsayılı örneklerinde bu koşul ilgili limitlerin sonlu olmasıyla kontrol ediliyor.

Örnekler:

• (x² − 4)y″ + 2xy′ + ay = 0: tekil noktalar ±2.
• x²y″ + xy′ + (x² − 1)y = 0: tekil nokta 0.
• Legendre: (1 − x²)y″ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0.
• Airy biçimi: y″ − λxy = 0.
• Hermite: y″ − 2xy′ + 2ny = 0.
• Bessel: x²y″ + xy′ + (x² − ν²)y = 0.

Adi nokta çevresinde çözüm

y″ + y = 0: aₙ₊₂ = −aₙ/[(n + 2)(n + 1)]. Çift katsayılar kosinüs, tek katsayılar sinüs serisini verir:

y = a₀ cos x + a₁ sin x.

y″ − xy = 0: a₂ = 0 ve aₙ₊₂ = aₙ₋₁/[(n + 2)(n + 1)] (n ≥ 1). Sonuç:

y = a₀(1 + x³/6 + x⁶/180 + …) + a₁(x + x⁴/12 + x⁷/504 + …).

Analitik p ve q için yakınsaklık yarıçapının alt sınırı, merkezden kompleks düzlemde en yakın katsayı tekilliğine olan uzaklıkla bulunur. Örneğin (1 + x²)y″ + 2xy′ + 4x²y = 0 için ±i noktalarına uzaklık, x₀ = 0'da 1; x₀ = 1/2'de √5/2'dir.

Euler denklemleri

x²y″ + αxy′ + βy = 0 için y = xʳ seçimi r(r − 1) + αr + β = 0 verir.

• Ayrık gerçek kökler: C₁xʳ¹ + C₂xʳ².
• Katlı kök: xʳ(C₁ + C₂ ln x), x > 0.
• r = λ ± iµ: x^λ[C₁ cos(µ ln x) + C₂ sin(µ ln x)], x > 0.

Nottaki örnek sonuçlar:

• x²y″ + xy′ − 4y = 0 → C₁x⁻² + C₂x².
• 2x²y″ + 3xy′ − y = 0 → C₁√x + C₂/x.
• x²y″ + xy′ + 2y = 0 → C₁ cos(√2 ln x) + C₂ sin(√2 ln x).

Frobenius yöntemi

Düzgün tekil nokta x = 0 çevresinde çözüm y = xʳΣ_(n=0)^∞ aₙxⁿ, a₀ ≠ 0 biçiminde aranır. p₀ = lim xp(x), q₀ = lim x²q(x) için indis denklemi:

F(r) = r(r − 1) + p₀r + q₀ = 0.

En küçük kuvvetin katsayısı indis denklemini; sonraki kuvvetler yineleme bağıntısını verir. Ayrık kökler arasındaki fark tam sayı değilse iki Frobenius serisi bulunur. Katlı kökte ikinci çözümde ln x terimi oluşur. Pozitif tam sayı farkında ikinci çözüm bir logaritma terimi içerebilir; katsayısı sıfır da olabilir.

Örnek: 2x²y″ − xy′ + (1 + x)y = 0 için F(r) = 2r(r − 1) − r + 1; kökler 1 ve 1/2. Yineleme bağıntısı aₙ = −aₙ₋₁/[2(r + n)(r + n − 1) − (r + n) + 1].

Yarım mertebeli Bessel denklemi

x²y″ + xy′ + (x² − 1/4)y = 0 için indis kökleri ±1/2'dir. İki çözüm sin x/√x ve cos x/√x ile ifade edilir:

• J_(1/2)(x) = √(2/(πx)) sin x.
• J_(−1/2)(x) = √(2/(πx)) cos x.

Kök farkı 1 olmasına rağmen bu örneğin bağımsız çözümlerinde logaritma gerekmez.

Çözüm föyü: dokuz soru

1. y″ − xy′ − y = 0

aₙ₊₂ = aₙ/(n + 2).

y = a₀(1 + x²/2 + x⁴/8 + …) + a₁(x + x³/3 + x⁵/15 + …).

2. 2y″ + xy′ + 3y = 0

aₙ₊₂ = −(n + 3)aₙ/[2(n + 1)(n + 2)].

y = a₀(1 − 3x²/4 + 15x⁴/96 + …) + a₁(x − x³/3 + x⁵/20 + …).

3. (1 − x)y″ + xy′ − y = 0

aₙ₊₂ = [n(n + 1)aₙ₊₁ − (n − 1)aₙ]/[(n + 1)(n + 2)].

y = a₀(1 + x²/2! + x³/3! + …) + a₁x. İlk seri eˣ − x'tir.

4. (1 + x²)y″ − 4xy′ + 6y = 0

aₙ₊₂ = −(n² − 5n + 6)aₙ/[(n + 1)(n + 2)]. Seriler sonlanır:

y = a₀(1 − 3x²) + a₁(x − x³/3).

5. x²(1 − x²)y″ − 2xy′ + 4y = 0

Tekil noktalar 0, 1, −1'dir; üçü de düzgün tekildir. 0 için limitler −2 ve 4; ±1 için 1 ve 0'dır.

6. 2x²y″ + 3xy′ − y = 0

İndis denklemi 2r² + r − 1 = 0; çözüm C₁√x + C₂/x.

7. x²y″ − 2xy′ + 2y = 2x ln x

Homojen çözüm C₁x² + C₂x. Parametrelerin değişimiyle kaynakta verilen sonuç:

y = K₁x² + K₂x − x(ln x)² − 2x ln x.

Not: Sonuç doğrudur; ancak ara integral satırları eksik/hatalıdır. ∫2 ln x/x² dx = −2(ln x + 1)/x + C ve ∫−2 ln x/x dx = −(ln x)² + C olmalıdır. İlk integraldeki ek −2x terimi son çözümde homojen sabite katılır.

8. x²y″ + xy′ + (x − 2)y = 0

p₀ = 1, q₀ = −2; indis kökleri ±√2. Katsayılar aₙ = −aₙ₋₁/[(r + n)² − 2] ile bulunur. Her iki r için y_r = xʳ[1 − x/(1 + 2r) + x²/((1 + 2r)(4 + 4r)) + …].

Not: Föyde limit hesabından sonraki cümlede q₀ = 0 yazıyor; aynı sayfadaki limit ve kullanılan indis denklemi q₀ = −2 olduğunu gösteriyor.

9. x²y″ + xy′ + x²y = 0

r² = 0 katlı indis kökü, a₁ = 0, aₙ = −aₙ₋₂/(r + n)².

y₁ = 1 − x²/4 + x⁴/64 − x⁶/2304 + … = J₀(x).

İkinci çözüm, r'ye göre türevle y₂ = y₁ ln x + x²/4 − 3x⁴/128 + … biçiminde elde ediliyor. Genel çözüm C₁y₁ + C₂y₂'dir.

Yineleme bağıntılarının ilk katsayıları ve sonlanan polinom çözümleri denklemde yerine koyularak kontrol edildi.