EEM224 Elektromanyetik I: Durgun Elektrik, Gradyant ve Diverjans: Arkadaş Notu

Bu yazı, bir arkadaşın ders notu üzerinden hazırlandı; kişisel bilgiler çıkarıldı. Tarih belgede yıl içerecek biçimde belirtilmemiştir. Başlıklar, temel formüller ve örnek sonuçları metne aktarıldı. İsimsiz dosya adıyla yeniden oluşturulan PDF yazının sonunda indirilebilir.

Alan ve elektrik kuvveti

Alan, skaler veya vektörel bir büyüklüğün konumla dağılımıdır; zamanla değişiyorsa f(x,y,z,t) biçiminde yazılır. Elektrik alan, birim deneme yüküne etkiyen kuvvettir: E = F/Q. Birimi N/C veya V/m'dir.

Kaynak yük q, gözlem noktasındaki deneme yükü Q olsun. Kaynaktan gözlem noktasına yönelen R vektörü için:

F = qQ R/(4πε₀|R|³), E = qR/(4πε₀|R|³).

Notta ε₀ ≈ 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²) kullanılır. Kaynak ile gözlem noktalarının karıştırılmaması vurgulanır.

Koordinatlar ve örnek

Silindirik koordinatlardan Kartezyen sisteme: x = s cosφ, y = s sinφ, z = z. (s,φ,z) = (2,5π/6,3) noktası için x = −√3, y = 1, z = 3.

Kartezyen (0,−2,0) noktası için silindirik yarıçap 2, azimut 3π/2'dir. Arctan oranı tek başına açının bölgesini belirlemez.

Kompleks sayılar

z = a + jb = |z|(cosθ + j sinθ) = |z|e^(jθ).

Notta 5+12j için |z| = 13 ve θ ≈ 0,374π elde edilir. (3+j)(1−3j)(4+3j) işlemi 48−14j, büyüklüğü 50 olarak verilmiştir. Aynı ilk iki çarpanın (4−3j)'ye bölünmesi −2j sonucunu verir.

Türev ve gradyant

Bir değişkenli fonksiyonda df = (df/dx)dx. Üç değişkenli T(x,y,z) için:

dT = (∂T/∂x)dx + (∂T/∂y)dy + (∂T/∂z)dz = ∇T · dl.

∇T = â_x ∂T/∂x + â_y ∂T/∂y + â_z ∂T/∂z.

Gradyant, skaler fonksiyonun en hızlı arttığı yönü gösterir. Büyüklüğü bu yöndeki değişim hızıdır. Seviye eğrilerine veya yüzeylerine diktir. Elektrik alanla potansiyel ilişkisi E = −∇V'dir.

Diverjans ve akı

V = V_x â_x + V_y â_y + V_z â_z ise ∇·V = ∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z. Sonuç skalerdir.

Örnekler: r = xâ_x+yâ_y+zâ_z için ∇·r = 3; sabit â_z için sonuç 0; zâ_z için sonuç 1.

Bir yüzeyden geçen akı alanın yüzeye dik bileşenine bağlıdır: Φ = ∫_S V·dS. Yüzeye paralel alanın akı katkısı sıfırdır.

Diverjans, küçük kapalı yüzeyden çıkan net akının kapatılan hacme oranının limitidir:

∇·V = lim_(Δv→0) [∮ V·dS]/Δv.

Diferansiyel uzunluk

Kartezyen: dl = â_x dx + â_y dy + â_z dz.

Silindirik: dl = â_s ds + â_φ s dφ + â_z dz.

Küresel: dl = â_r dr + â_θ r dθ + â_φ r sinθ dφ.

Son sayfada √(x²+y²+z²) fonksiyonunun küresel koordinatlarda doğrudan r'ye eşit olduğu gösterilir.