EEM308 Sinyaller ve Sistemler II: Örnekleme Teoremi, Yeniden Oluşturma ve Örtüşme

Bu yazı, Başkent Üniversitesi EEM 308 Sinyaller ve Sistemler II dersinde Yrd. Doç. Dr. Selda Güney'in kullandığı 41 slaytlık "Örnekleme" sunumunu metin olarak aktarıyor. Sunumun 8 Mayıs 2014 tarihli bir sürümü ve 7 Mayıs 2015 tarihli, neredeyse aynı içerikteki güncel sürümü vardı; burada 2015 sürümü esas alındı. Grafiklerin çoğu ders kitabı Oppenheim & Willsky'nin Signals & Systems kitabının 7. bölümündeki (Sampling) şekillerden alınmış. Sunumun PDF'i yazının sonunda indirilebilir.

Sunumun içeriği:

• Örnekleme teoremi
• Sinyalin yeniden oluşturulması
• Örtüşme (aliasing)
• Sürekli zaman sinyallerinin ayrık zaman işlemesi
• Ayrık zaman sinyallerinin örneklenmesi

Neden örnekleme?

Sayısal işaret işleme zinciri: sürekli sinyal → (örnekleme) → ayrık sinyal → (kod) → sayısal sinyal → DSP → (D/A) → sürekli sinyal. Ancak örnekleme tek başına sinyali belirlemez: farklı x₁(t), x₂(t), x₃(t) sinyalleri aynı anlarda aynı değerleri alabilir, yani x₁(nT) = x₂(nT) = x₃(nT) iken x₁(t) ≠ x₂(t) ≠ x₃(t) olabilir. Örnekleme teoremi, hangi koşulda örneklerin sinyali tek türlü belirlediğini söyler.

1.1 Dürtü katarı örneklemesi

x(t), periyodik dürtü katarı p(t) ile çarpılır:

p(t) = δ_T(t) = Σₙ δ(t − nT)

Zaman domeninde:

x_p(t) = x(t)·p(t) = Σₙ x(nT) δ(t − nT)

Frekans domeninde: Çarpma, frekansta konvolüsyona dönüşür: X_p(jω) = (1/2π)[X(jω) ∗ P(jω)]. Periyodik dürtü katarının Fourier dönüşümü yine bir dürtü katarıdır:

P(jω) = (2π/T) Σₖ δ(ω − kω_s) = ω_s Σₖ δ(ω − kω_s), ω_s = 2π/T

Dolayısıyla:

X_p(jω) = (1/T) Σₖ X(j(ω − kω_s))

Örneklenmiş sinyalin spektrumu, X(jω)'nın ω_s aralıklarla ötelenmiş ve 1/T ile ölçeklenmiş kopyalarının toplamıdır. ω_s > 2ω_M ise kopyalar üst üste binmez; ω_s < 2ω_M ise kopyalar örtüşür.

Örnekleme teoremi

x(t), |ω| > ω_M için X(jω) = 0 olan bant sınırlı bir sinyal olsun. ω_s > 2ω_M (ω_s = 2π/T) ise x(t), x(nT), n = 0, ±1, ±2, … örnekleri tarafından tek türlü oluşturulabilir.

2ω_M değerine Nyquist hızı (Nyquist frekansı) denir.

1.2 Sıfırıncı dereceden tutmalı örnekleme

Pratikte dar dürtüler üretmek zor olduğu için sıfırıncı dereceden tutma (zero-order hold) kullanılır: her örnek değeri bir sonraki örnekleme anına kadar sabit tutulur. Bu, x_p(t)'nin genişliği T, yüksekliği 1 olan dikdörtgen h₀(t) darbesiyle konvolüsyonudur:

x₀(t) = x_p(t) ∗ h₀(t) = Σₙ x(nT) h₀(t − nT)

H₀(jω) = e^{−jωT/2} [2 sin(ωT/2) / ω]

x(t)'yi x₀(t)'den geri elde etmek için kullanılacak yeniden oluşturma süzgeci h_r(t), h₀(t) ile birlikte ideal alçak geçiren süzgeç H(jω)'yı vermelidir:

H_r(jω) = e^{jωT/2} H(jω) / (2 sin(ωT/2) / ω), ω_M < ω_c < ω_s − ω_M

Bu süzgecin genliği ±ω_s/2 bandında ortada 1'den başlayıp kenarlara doğru yükselen, fazı ise doğrusal (eğim T/2) bir süzgeçtir.

2. Sinyalin yeniden oluşturulması

Bant sınırlı ara değerleme

x_p(t), kazancı T ve kesim frekansı ω_c olan ideal alçak geçiren süzgeçten geçirilir (ω_M < ω_c < ω_s − ω_M). Süzgecin darbe yanıtı h(t) = T sin(ω_c t)/(πt) olduğundan:

x_r(t) = x_p(t) ∗ h(t) = Σₙ x(nT) h(t − nT) = Σₙ x(nT) · T sin[ω_c(t − nT)] / [π(t − nT)]

Yani yeniden oluşturulan sinyal, her örneğe yerleştirilmiş sinc fonksiyonlarının toplamıdır. Sunumda aynı fikir üç ara değerleme türüyle karşılaştırılıyor: ideal (bant sınırlı) ara değerleme (sinc), sıfırıncı dereceden tutma (merdiven biçimli yaklaşım) ve birinci dereceden tutma (first-order hold; örnekleri doğru parçalarıyla birleştiren üçgen darbe, doğrusal ara değerleme).

Örtüşme (aliasing)

Eğer bir sinyal Nyquist hızından (frekansından) daha düşük bir hızda örneklenirse, spektral örtüşme meydana gelir.

Sunumdaki örnekte x(t) = cos(ω₀t) sinüsü farklı ω₀ değerleri için örnekleniyor ve ideal alçak geçiren süzgeçle yeniden oluşturuluyor:

ω₀ > ω_s/2 olduğunda süzgeç çıkışında ω_s − ω₀ frekanslı bir kosinüs görünür.

Sürekli zaman sinyallerinin ayrık zaman işlemesi

Sürekli zamanlı bir sinyal üç adımda işlenir:

1. C/D dönüşümü (sürekli → ayrık): x_d[n] = x_c(nT)
2. Ayrık zaman sistemi: H_d(e^{jΩ}), çıkış y_d[n]
3. D/C dönüşümü (ayrık → sürekli): y_d[n] dürtü katarına çevrilir ve kazancı T, kesim frekansı ω_s/2 olan ideal alçak geçiren süzgeçten geçirilir; y_c(t) elde edilir.

C/D dönüşümünde ayrık zamanlı dizinin spektrumu, x_p(t)'nin spektrumunun frekans ekseninde ölçeklenmiş hâlidir: X_d(e^{jΩ}) = X_p(jΩ/T), yani Ω = ωT. Sürekli zamanda ω_s'de tekrarlayan kopyalar ayrık zamanda 2π'de tekrarlar.

Örtüşme yoksa tüm sistem, sürekli zamanlı eşdeğer bir süzgeç gibi davranır:

H_c(jω) = H_d(e^{jωT}) (|ω| < ω_s/2), aksi hâlde 0.

Dijital türev alıcı

Bant sınırlı bir sinyalin türevini alan sürekli zamanlı sistem H_c(jω) = jω (|ω| < ω_c) ile tanımlanır; genliği |ω|, fazı ±π/2'dir. Ayrık zamandaki karşılığı, |Ω| < π için H_d(e^{jΩ}) = jΩ/T'dir.

Yarı-örneklem gecikmesi

Sinyali Δ kadar geciktiren sistem: H_c(jω) = e^{−jωΔ} (|ω| < ω_c). Ayrık karşılığı H_d(e^{jΩ}) = e^{−jΩΔ/T}. Δ/T bir tam sayı değilse (ör. Δ = T/2), ayrık zamanda "yarım örnek" gecikme tanımsız gibi görünür; ama bant sınırlı sinyal için anlamı açıktır: y_c(t) = x_c(t − T/2) ve y_d[n] = y_c(nT) = x_c((n − ½)T), yani örnekler arasındaki sürekli sinyalin değerleri.

Ayrık zaman sinyallerinin örneklenmesi

1. Dürtü katarı örneklemesi

Ayrık zamanlı x[n], p[n] = Σₖ δ[n − kN] ile çarpılır: x_p[n] = x[n] için n, N'nin katıysa, aksi hâlde 0. Frekans domeninde:

X_p(e^{jω}) = (1/N) Σₖ X(e^{j(ω − kω_s)}), ω_s = 2π/N

Sürekli zamandaki gibi, ω_s > 2ω_M ise kopyalar örtüşmez ve x[n], kazancı N ve kesim frekansı ω_s/2 olan ideal alçak geçiren süzgeçle x_p[n]'den tam olarak geri elde edilir; ω_s < 2ω_M ise örtüşme olur.

2. Ayrık zamanlı ondalıklama ve ara değerleme

Ondalıklama (decimation): x_p[n]'deki sıfırlar atılarak x_b[n] = x_p[nN] = x[nN] dizisi oluşturulur. Bu, spektrumu frekansta N kat genişletir: X_b(e^{jω}) = X_p(e^{jω/N}). Örtüşme olmaması için x[n]'in bandı yeterince dar olmalıdır (Nω_M < π). Örneğin bir sürekli sinyal gereğinden hızlı örneklenmiş ve ardından alçak geçiren süzgeçle bandı daraltılmışsa, örnek sayısı ondalıklamayla azaltılabilir.

Ara değerleme (interpolation, upsampling): Ters işlem; x_b[n]'nin örnekleri arasına N − 1 sıfır eklenerek x_p[n] elde edilir ve bu dizi ideal alçak geçiren süzgeçten geçirilerek x[n] oluşturulur. Sunumdaki örnekte N = 2: X_p(e^{jω}) spektrumu ±π/2'de kesilen, kazancı 2 olan süzgeçten geçirilir ve tepe değeri 2A olan X(e^{jω}) elde edilir.

Sunum bir örnekle bitiyor: X(e^{jω}) spektrumu |ω| < 2π/9 bandında olan bir dizi. Bu dizi örtüşmesiz olarak en fazla 4 kat ondalıklanabilir; X_b(e^{jω}) spektrumu ±8π/9'a kadar genişler, π'ye kadar hâlâ boşluk kalır. Örnek sayısını daha da azaltmak için dizi önce 2 kat ara değerlenir (X_u(e^{jω}) bandı ±π/9'a daralır), ardından 9 kat ondalıklanır; sonuçtaki X_ub(e^{jω}) spektrumu tüm (−π, π) aralığını doldurur. Böylece toplamda 9/2 oranında, tam sayı olmayan bir örnekleme hızı azaltması elde edilir.